G-מודול

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

G-מודול הוא חבורה אבלית M שעליה פועלת חבורה G באופן קומפטיבילי למבנה האבלי של M.‏ G-מודולים משמשים להגדרת קוהומולוגיה של חבורות.

הגדרה

תהי G חבורה ותהי M חבורה אבלית כך ש-G פועלת של M משמאל, כלומר:

G×MM;(g,m)gm

כך ש-1Gm=m ולכל g1,g2G ו-mM מתקיים g1g2m=g1(g2m).

כדי ש-M תהייה G-מודול נדרוש שפעולת G מכבדת את המבנה החבורתי האבלי של M, כלומר

gG:a,bM:g(a+b)=ga+gb.

במקרה זה אנו אומרים ש-M הוא G-מודול שמאלי. אם G פועלת על M מימין באופן דומה נקבל G-מודול ימני. את קטגוריית ה-G מודולים השמאליים מסמנים G-Mod ואת קטגוריית ה-G-מודולים הימניים מסמנים Mod-G. אלו הן קטגוריות אבליות.

תכונות בסיסיות

בסעיף זה נניח שכל ה-G-מודולים הם שמאליים. כל מה שנאמר כאן תקף גם ל-G-מודולים ימניים.

העתקה f:MN תיקרא מורפיזם של G-מודולים או העתקה G-ליניארית או G-הומומורפיזם אם היא שומרת על הפעולה של G (כלומר: G-equivariant). באופן מפורש:

f(a+b)=f(a)+f(b) ו-f(gm)=gf(m).

האוסף של G-מודולים שמאליים והמורפיזמים שלהם יוצרים קטגוריה אבלית G-Mod. ניתן לזהות אותה עם חוג החבורה [G].

תת-G-מודול A של G-מודול M הוא תת-חבורה AM כך ש-GAA, כלומר gaA לכל gG ו-aA. במקרה כזה אפשר להגדיר את G-מודול המנה M/A כחבורת מנה עם הפעולה g(m+A)=gm+A.

דוגמאות

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

G-מודול28306772Q2912125