תכונת החיתוך הסופי

אוסף קבוצות מקיים את תכונת החיתוך הסופי אם לכל תת-אוסף סופי שלו חיתוך לא ריק.

התכונה מתקיימת באופן טריוויאלי כאשר חיתוך כל הקבוצות באוסף אינו ריק, אבל מצב זה אינו הכרחי. למשל, אוסף הקטעים $\{(0,\frac{1}{n})|n\in \mathbb{\mathbb{N}}\}$ מקיים את תכונת החיתוך הסופי, בעוד שחיתוך כל הקטעים הוא ריק.

הגדרת קומפקטיות על ידי תכונת החיתוך הסופי

תכונת החיתוך הסופי משמשת להגדרה חלופית לקומפקטיות: מרחב טופולוגי הוא קומפקטי אם ורק אם לכל אוסף של קבוצות סגורות המקיים את תכונת החיתוך הסופי, חיתוך לא ריק.

הוכחת שקילות ההגדרות

יהי $X$ מרחב טופולוגי. נניח ש-$X$ קומפקטי לפי ההגדרה הרגילה ונראה שהוא קומפקטי לפי ההגדרה על ידי תכונת החיתוך הסופי: יהי $\{F_i{\}}_{i\in I}$ אוסף תת-קבוצות סגורות של $X$ המקיים את תכונת החיתוך הסופי, ונניח על דרך השלילה שהחיתוך $\bigcap _{i\in I}{F}_i$ ריק. מהנחה זו נובע שאוסף המשלימים $\{F_i^c{\}}_{i\in I}$ מהווה כיסוי פתוח של $X$. מההנחה ש-$X$ קומפקטי לפי ההגדרה הרגילה נובע שיש לאוסף המשלימים תת-כיסוי סופי $\{F_{i_j}^c{\}}_{j=1}^n$. לפיכך לתת אוסף הסופי $\{F_{i_j}{\}}_{j=1}^n$ חיתוך ריק, בסתירה לתכונת החיתוך הסופי. נובע מכאן שהחיתוך $\bigcap _{i\in I}{F}_i$ אינו ריק, כלומר $X$ קומפקטי לפי ההגדרה על ידי תכונת החיתוך הסופי.

בכיוון ההפוך: נניח ש-$X$ קומפקטי לפי ההגדרה על ידי תכונת החיתוך הסופי ונראה שהוא קומפקטי לפי ההגדרה הרגילה: יהי $\{U_i{\}}_{i\in I}$ כיסוי פתוח של $X$, ונניח על דרך השלילה שאין לו שום תת-כיסוי סופי. מהנחה זו נובע שאוסף המשלימים $\{U_i^c{\}}_{i\in I}$ הוא אוסף תת-קבוצות סגורות של $X$ המקיים את תכונת החיתוך הסופי. מההנחה ש-$X$ קומפקטי לפי ההגדרה על ידי תכונת החיתוך הסופי נובע שהחיתוך $\bigcap _{i\in I}{U}_i^c$ אינו ריק, כלומר $\{U_i{\}}_{i\in I}$ אינו כיסוי, וזאת סתירה. נובע מכאן של-$\{U_i{\}}_{i\in I}$ יש תת-כיסוי סופי, כלומר $X$ קומפקטי לפי ההגדרה הרגילה.

מש"ל

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

תכונת החיתוך הסופי35538264Q2915225