תבנית פיסטר

במתמטיקה, תבנית פיסטר (Pfister form) היא תבנית ריבועית הנתונה על ידי מכפלת מספר סופי של תבניות בעלות צורה אלכסונית $⟨ 1, - a ⟩$ . כך מתקבלת תבנית מממד חזקת 2, שיש לה תפקיד מרכזי בחקר המרחבים הריבועיים והמבנה שלהם.

תבניות פיסטר יוצרות בחוג ויט את האידיאלים $I^{n} (F)$ , ולכן יוצרות את המנות $I^{n} (F) / I^{n + 1} (F)$ , ומתקשרות דרכן ל-תורת K של חוגים.

תבניות פיסטר יוצרות את אידיאל הפיתול בחוג ויט. התבניות מממד נמוך מופיעות גם כנורמות באלגברות הרכבה.

הגדרה

יהי $F$ שדה ממאפיין שאינו 2.

עבור $a \in F^{\times}$ , התבנית הריבועית בעלת הצורה האלכסונית $⟨ 1, - a ⟩$ נקראת תבנית פיסטר מסדר ראשון, ומסומנת $⟨ ⟨ a ⟩ ⟩$ . תבנית פיסטר מסדר $n$ היא מכפלה טנזורית של $n$ תבניות מסדר ראשון, כלומר מהצורה $⟨ ⟨ a_{1}, . . ., a_{n} ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ a_{1} ⟩ ⟩ \otimes . . . \otimes ⟨ ⟨ a_{n} ⟩ ⟩$ , עבור $a_{i} \in F$ .

התבנית מהצורה $⟨ ⟨ 1, . ., 1 ⟩ ⟩$ היא מרחב היפרבולי.

תכונות ומבנה

לתבניות פיסטר תכונות שימושיות רבות, המראות עד כמה חשוב המבנה שלהן.

תכונות

ראשית, מתקיימת "כמעט אדטיביות", כלומר $⟨ ⟨ a ⟩ ⟩ ⊥ ⟨ ⟨ b ⟩ ⟩ ≅ ⟨ ⟨ a b ⟩ ⟩ ⊥ ⟨ ⟨ a, b ⟩ ⟩$ . תכונה זו מראה כי הדיסקרימיננטה היא הומומורפיזם של חבורות $d i s c : I / I^{2} \to F^{\times} / F^{\times^{2}}$ . בפרט, מתקיים $d i s c (⟨ ⟨ a ⟩ ⟩) = a$ ו- $d i s c (⟨ ⟨ a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n} ⟩ ⟩)) = 1$ לכל $n \geq 2$ .

באופן כללי, תבניות פיסטר מסדר $n$ יוצרות (כחבורה אדיטיבית) את האידיאלים $I^{n} (F)$ , משום שכל תבנית מסדר 2 ניתן לכתוב כתבנית פיסטר $⟨ a, b ⟩ = ⟨ 1, \frac{b}{a} ⟩ = ⟨ ⟨ \frac{- b}{a} ⟩ ⟩$ .

התבנית $⟨ ⟨ - 1, . . ., - 1 ⟩ ⟩$ היא סכום של ריבועים; משפט הורוויץ קובע כי תבנית כאלו הן כפליות אם ורק אם ממדן הוא $1, 2, 4, 8$ . בממד 2, כל התבניות הכפליות הן תבניות פיסטר ורק הן.

מבנה

נציג מספר משפטי מפתח חשובים על תבניות פיסטר המובילים למסקנות מעניינות.

משפט - תהי $ϕ$ תבנית פיסטר, אז ניתן לכתוב $ϕ = ⟨ 1 ⟩ ⊥ ϕ^{'}$ . אז מתקיים $⟨ ⟨ a ⟩ ⟩ | ϕ$ אם ורק אם $- a$ מתקבל כערך של $ϕ^{'}$ .

כמסקנה מקבלים:

משפט: אם תבנית פיסטר איזוטרופית, אז היא היפרבולית.

המשפט הבא מראה כי אוסף הערכים שמקבלת תבנית פיסטר סגור למכפלה.

משפט - נסמן ב- $D (q)$ את אוסף הערכים שהתבנית מקבלת, וב- $G (q)$ את החבורה $G (q) = {t \in F^{\times} : ⟨ t ⟩ \otimes q ≅ q}$ . אם $q = ϕ$ תבנית פיסטר מתקיים $G (q) = D (q)$ .

כמסקנה, נובע כי אם $ϕ$ תבנית פיסטר אז $D (ϕ)$ סגורה לכפל . תכונה זו נקראת תכונת הכפליות של תבניות פיסטר.

משפט: התכונות הבאות שקולות:

$q$ היא תבנית פיסטר.
לכל הרחבת שדות $𝕂 / F$ , אוסף הערכים של התבנית מעל ההרחבה, המסומן $D_{𝕂} (q)$ , הוא חבורה.
$q (λ_{1}, . . ., λ_{n}) \in G_{F (λ_{1}, . . ., λ_{n})} (q)$ .

המשפט הבא נותן מידע על הממד של תבניות.

משפט: הממד של תבנית לא היפרבולית ב- $I^{n} (F)$ הוא לפחות $2^{n}$ . אם הוא שווה ל- $2^{n}$ , התבנית היא בהכרח תבנית פיסטר.

מסקנה: $\cap_{n \in ℕ} I^{n} (F) = {0}$

הקשר לתורת K

לתבנית פיסטר קשר הדוק לתורת K.

הן מספקות העתקה $f_{n} : K_{n} (F) \to I^{n} (F) / I^{n + 1} (F)$ , הנתונה על ידי $f_{n} (a_{1}, . . ., a_{n}) = ⟨ ⟨ a_{1}, . . ., a_{n} ⟩ ⟩$ .

לפי השערת מילנור, ההעתקה המהווה אפימורפיזם, ובעלת גרעין $2 K_{n} (F)$ , ולכן מתקבל איזומורפיזם $k_{n} (F) ≅ I^{n} (F) / I^{n + 1} (F)$ , כאשר $k_{n} (F) = K_{n} (F) / 2 K_{n} (F)$ .

ראו גם

לקריאה נוספת

עוזי וישנה, מבוא לתבניות ריבועיות, 2014.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

תבנית פיסטר31180058

תבנית פיסטר

תוכן עניינים

הגדרה

תכונות ומבנה

תכונות

מבנה

הקשר לתורת K

ראו גם

לקריאה נוספת

תפריט ניווט

תבנית פיסטר

הגדרה

תכונות ומבנה

תכונות

מבנה

הקשר לתורת K

ראו גם

לקריאה נוספת

תפריט ניווט

חיפוש