שונות משותפת עצמית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, בהינתן תהליך סטוכסטי, שונות משותפת עצמיתאנגלית: Autocovariance) היא פונקציה שנותנת את השונות המשותפת של התהליך עם עצמו בשתי נקודות זמן. שונות משותפת עצמית קשורה קשר הדוק למתאם העצמי (autocorrelation) של התהליך המדובר.

שונות משותפת עצמית של תהליכים סטוכסטיים

הגדרה

אם לתהליך הסטוכסטי {Xt} קיימת פונקציית תוחלת μt=E[Xt] (כאשר E הוא הסימון הרגיל עבור אופרטור התוחלת), אז השונות המשותפת העצמית ניתנת על ידי[1]:

KXX(t1,t2)=cov[Xt1,Xt2]=E[(Xt1μt1)(Xt2μt2)]=E[Xt1Xt2]μt1μt2

כאשר t1 ו־t2 הן שתי נקודות זמן.

הגדרה עבור תהליך סטציונרי במובן הרחב

אִם {Xt} הוא תהליך סטציונרי במובן הרחב (WSS), אז מתקיים:[1]

μt1=μt2μ עבור כל t1,t2 כלשהם.

וכן:

E[|Xt|2]< עבור כל t כלשהו.

וכן:

KXX(t1,t2)=KXX(t2t1,0)KXX(t2t1)=KXX(τ)

כאשר τ=t2t1 הוא זמן ההשהיה, או משך הזמן שבו הוסט האות.

פונקציית השונות המשותפת העצמית של תהליך WSS ניתנת אפוא על ידי:[2]

KXX(τ)=E[(Xtμt)(Xtτμtτ)]=E[XtXtτ]μtμtτ

באופן שקול:

KXX(τ)=E[(Xt+τμt+τ)(Xtμt)]=E[Xt+τXt]μ2.

נִרמול

בכמה תחומים (למשל בסטטיסטיקה ובניתוח סדרות עיתיות) מקובל לנרמל את פונקציית השונות המשותפת העצמית כדי לקבל מקדם מתאם פירסון תלוי בזמן. עם זאת בתחומים אחרים (בהנדסה למשל) הנרמול מושמט לעיתים קרובות, והמונחים "שונות משותפת עצמית" ו"מתאם עצמי" משמשים לסירוגין.

מתאם עצמי מנורמל של תהליך סטוכסטי מוגדר כך:

ρXX(t1,t2)=KXX(t1,t2)σt1σt2=E[(Xt1μt1)(Xt2μt2)]σt1σt2.

אם הפונקציה ρXX מוגדרת היטב, הערך שלה חייב להיות בטווח [1,1], כאשר 1 מציין מתאם מושלם ו-1 מציין אנטי-מתאם מושלם.

עבור תהליך WSS, ההגדרה היא:

ρXX(τ)=KXX(τ)σ2=E[(Xtμ)(Xt+τμ)]σ2.

כאשר:

KXX(0)=σ2.

תכונות

סימטריה
KXX(t1,t2)=KXX(t2,t1)

ובהתאמה עבור תהליך WSS:

KXX(τ)=KXX(τ)
סינון ליניארי

השונות המשותפת העצמית של תהליך מסונן ליניארי {Yt}

Yt=k=akXt+k

היא:

KYY(τ)=k,l=akalKXX(τ+kl)

ראו גם

לקריאה נוספת

  • Hoel, P. G. (1984). Mathematical Statistics (Fifth ed.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-89045-4.
  • Lecture notes on autocovariance from WHOI

הערות שוליים

  1. ^ 1.0 1.1 Hsu, Hwei (1997). Probability, random variables, and random processes. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-030644-8.
  2. Lapidoth, Amos (2009). A Foundation in Digital Communication. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19395-5.
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

שונות משותפת עצמית40124167Q786973