ריבוע הקסם של פרוידנטל

ריבוע הקסם של פרוידנטל הוא תבנית המארגנת בניה אחידה של כמה אלגברות לי, חלקן ספורדיות. הריבוע נקרא על-שם הנס פרוידנטל שפיתח את הבניה במקביל לז'אק טיץ. ריבוע הקסם מתאים לזוג אלגברות הרכב מעל הממשיים אלגברת לי, שהטיפוס של דיאגרמת דינקין שלה מוצג בריבוע, כדלקמן:

ריבוע הקסם

$\mathbb{𝕆}$	$\mathbb{ℍ}$	$\mathbb{ℂ}$	$\mathbb{ℝ}$
$F_4$	$C_3$	$A_2$	$A_1$	$\mathbb{ℝ}$
$E_6$	$A_5$	$A_2\oplus A_2$	$A_2$	$\mathbb{ℂ}$
$E_7$	$A_6$	$A_5$	$C_3$	$\mathbb{ℍ}$
$E_8$	$E_7$	$E_6$	$F_4$	$\mathbb{𝕆}$

השורה האחרונה בריבוע כוללת את כל האלגברות הספורדיות, למעט $G_2$, ומדגימה עד כמה קשורות האלגברות הספורדיות לאלגברת האוקטוניונים ($G_2$ עצמה היא אלגברת הנגזרות של אלגברת האוקטוניונים).

בניית טיץ

כידוע, יש בדיוק ארבע אלגברות הרכב עם יחידה, ללא מחלקי אפס, מעל הממשיים: שדה הממשיים עצמו, $\mathbb{ℝ}$, שדה המספרים המרוכבים $\mathbb{ℂ}$, אלגברת הקווטרניונים של המילטון $\mathbb{ℍ}$ ואלגברת האוקטוניונים $\mathbb{𝕆}$. תיאור דומה נכון מעל כל שדה: פרט לשדה עצמו, אפשר למנות את ההרחבות הריבועיות הספרביליות, את אלגברות הקווטרניונים, ואת אלגברות קיילי. על אלגברות אלה מוגדרת אינוולוציה סטנדרטית $x\mapsto \overline{x}$, שאפשר להמשיך אותה גם לאלגברות של מטריצות מעליהן. ההעתקה $t(a)=a+\overline{a}$ מ-A לשדה הסקלרים נקראת העתקת העקבה.

נניח שהמאפיין זר ל-6, ותהיינה A,B אלגברות מהנזכרות מעלה. נסמן ב- J את אלגברת ז'ורדן של כל המטריצות ההרמיטיות מסדר 3 מעל B (אם B מממד 8, זוהי אלגברת אלברט). נסמן ב- $A_0$ וב-$J_0$ את אוסף האיברים בעלי עקבה 0 ב-A וב-J, בהתאמה. בניית טיץ של A ו-B מחזירה את המרחב הווקטורי $\mathrm{Der}A\oplus A_0\otimes J_0\oplus \mathrm{Der}J$, כאשר $\mathrm{Der}A$ היא אלגברת הנגזרות (וכך גם ל-J), עם פעולת כפל $[\cdot ,\cdot ]$ ההופכת אותו לאלגברת לי, ומוגדרת כך ששני מרכיבי הנגזרות הם תת-אלגברות המתחלפות זו עם זו, ופועלות באופן טבעי על המרכיב הנותר: $[a\otimes x,D+E]=D(a)\otimes E(x)$ כאשר $a\in A_0,x\in J_0,D\in \mathrm{Der}A,E\in \mathrm{Der}J$. פעולת הכפל בין אברי המכפלה הטנזורית מסובכת יותר: $[a\otimes x,b\otimes y]=\frac{1}{12}\mathrm{tr}(xy)D_{a,b}+(ab)\otimes (xy)+\frac{1}{2}t(ab)[R_x,R_y]$, כאשר $D_{a,b}=R_{[x,y]}-L_{[x,y]}-3[L_x,R_y]$.

אם A היא מן הטיפוס המציין שורה ו-B מן הטיפוס המציין עמודה, התוצאה היא אלגברת לי פשוטה (או, במקרה אחד, פשוטה למחצה), שהטיפוס של דיאגרמת דינקין שלה מצוין בריבוע הקסם.

מקורות

• Encyclopaedia of Mathematical Sciences 57, Algebra VI, Part II, E.N.Kuzmin and I.P.Shestakov, sec 3.3.

ראו גם

• אלגברת ז'ורדן
• אלגברת אלברט
• אלגברת לי ספורדית

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

ריבוע הקסם של פרוידנטל31322000Q5503261