קוואזי-איזומטריה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בטופולוגיה של מרחבים מטריים, קוואזי-איזומטריה היא פונקציה f:XY ממרחב מטרי X למשנהו Y, השומרת על המבנה המטרי באופן רופף, במובן הבא:

  1. קיימים קבועים λ,C כך שלכל x,xX מתקיים dY(f(x),f(x))<λdX(x,x)+C ו-dX(x,x)<λdY(f(x),f(x))+C; ובנוסף לזה,
  2. לכל yY קיימת נקודה xX כך ש- dY(f(x),y)<C.

משמעות התנאי הראשון היא שלפונקציה מותר לשנות את המרחק בין נקודות, אבל במידה מתונה בלבד; בפרט, אם המרחק בין נקודות גדל לאינסוף, כך גם המרחק בין התמונות שלהן. התנאי השני מכריח את הפונקציה לכסות חלק משמעותי מן המרחב השני: כל נקודה ב-Y נמצאת במרחק C לכל היותר מנקודה שהגיעה מ-X.

מרחבים שיש ביניהם קוואזי-איזומטריה הם מרחבים קוואזי-איזומטריים. זהו יחס שקילות: הרכבה של קוואזי-איזומטריות היא קוואזי-איזומטריה, ולכל קוואזי-איזומטריה מ-X ל-Y יש קוואזי-איזומטריה בכיוון ההפוך, מ-Y ל-X. מרחבים איזומטריים הם בפרט קוואזי-איזומטריים.

קוואזי-איזומטריה מודדת את המבנה של המרחב בקנה מידה גדול בלבד. למשל, כל מרחב קוואזי-איזומטרי למרחב המתקבל כשמוציאים ממנו כדור (גדול ככל שיהיה). בפרט, כל המרחבים החסומים קוואזי-איזומטריים זה לזה.

קוואזי-איזומטריה של חבורות

לכל חבורה, ובפרט כאלה שהן אינסופיות אבל נוצרות סופית, אפשר להתאים את גרף קיילי שלה ביחס לקבוצת יוצרים (סופית) נתונה; גרף כזה אפשר להפוך באופן טבעי למרחב גאודזי. שינוי של קבוצת היוצרים משנה את הגרף, אבל כל הגרפים המתקבלים באופן כזה עבור חבורה נתונה הם קוואזי-איזומטריים זה לזה. לכן אפשר לומר שחבורות הן קוואזי-איזומטריות אם גרפי קיילי שלהן קוואזי-איזומטריים. למשל, חבורות בעלות מידה משותפת הן קוואזי-איזומטריות זו לזו. אומנם, גם חבורות שאינן בעלות מידה משותפת יכולות להיות קוואזי-איזומטריות, ובכל זאת, מבנה הגרף – עד כדי קוואזי-איזומטריה – מלמד רבות על החבורה. אם G ו-H נוצרות סופית וקוואזי-איזומטריות, ואם G היא סופית, בעלת הצגה סופית, דמוי-אבלית, דמוי-נילפוטנטית, דמוי-חופשית, אמנבילית או היפרבולית, אז H מקיימת את אותה תכונה[1]. מאידך, יש דוגמאות לחבורה פתירה נוצרת סופית, וחבורה שאינה דמוי-פתירה, שהן קוואזי-איזומטריות. גם תכונת T של קשדן אינה נשמרת תחת קוואזי-איזומטריה של החבורות.

הקשר בין חבורות והמרחבים שעליהן הן פועלות מושג בדרך הבאה. יהי X מרחב מטרי גאודזי נאות (=הכדורים הסגורים הם קומפקטיים). תהי G חבורה נוצרת סופית, הפועלת על X באופן קו-קומפקטי (=המנה X/G קומפקטית) ובלתי רציף (=לכל קבוצה קומפקטית K קיים איבר g ב-G כך ש-gK זר ל-K). אז X קוואזי-איזומטרי לגרף קיילי של G. מרחב כזה נקרא מודל גאומטרי של G.

ראו גם

הערות שוליים

  1. Survey on geometric group theory, Wolfgang Luck, 2008.
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

קוואזי-איזומטריה41451187Q614527