קבוע צ'אמפרנאוונה
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש
במתמטיקה, קבוע צאמפרנאוונה (Champernowne constant) הוא מספר טרנסצנדנטי ממשי המורכב מרצף כל המספרים הטבעיים:
- $ C_{10}=0.12345678910111213141516\ldots $
מספר זה הנו חלק מסדרה של מספרים טרנסצנדנטיים אחרים, המסומנים $ \{C_{b}\}_{b\in \mathbb {N} ,b\geq 2} $, בה האיבר ה-$ b $ מוגדר כבעל היצוג העשרוני בו מופיעים המספרים הטבעיים כשהם מוצגים בבסיס $ b $ . מספרים אלו הוגדרו על ידי דיוויד צ'אמפרנאוונה בשנת 1933.
שני המספרים הראשונים בסדרה הם:
- $ {\begin{aligned}C_{2}&=0.11011100101110111\ldots \\C_{3}&=0.12101112202122\ldots \end{aligned}} $
ביתר כלליות, האיבר ה-$ b $ בסדרה מוגדר על ידי הטור אינסופי הבא:
- $ C_{b}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=b^{n-1}}^{b^{n}-1}{\frac {k}{b^{\begin{aligned}n(k-b^{n-1}+1)+(b-1)\sum \limits _{m=1}^{n-1}b^{m-1}m\end{aligned}}}} $
תכונות
כל מספר $ C_{b} $ הוא מספר נורמלי בבסיס $ b $ : רצפי ספרות בפיתוח העשרוני מתנהגים כאילו נבחרו באקראי בהתפלגות שווה. מידת האי-רציונליות של האיבר $ C_{b} $ היא $ b $ .
את המספר $ C_{10} $ ניתן להציג כשבר משולב באופן הבא:
- $ {\begin{aligned}C_{10}=&[0;8,9,1,149083,1,1,1,4,1,1,1,3,4,1,1,1,15,\\&4\,57540\,11139\,10310\,76483\,64662\,82429\,56118\,59960\,39397\,10457\,55500\,06620\,04393\,09026\,26592\,56314\,93795\\&32077\,47128\,65631\,38641\,20937\,55035\,52094\,60718\,30899\,84575\,80146\,98631\,48833\,59214\,17830\,10987,\\&6,1,1,21,1,9,1,1,2,3,1,7,2,1,83,1,156,4,58,8,54,\ldots ]\end{aligned}} $
קירובים למספר $ C_{10} $ הם:
- $ {\frac {10}{81}}=0.{\overline {123456790}} $ (בעל שגיאה של $ 10^{-9} $).
- $ {\frac {60499999499}{490050000000}}=0.123456789{\overline {101112\ldots 96979900010203040506070809}} $ (בעל שגיאה של $ 9\cdot 10^{-190} $).