צירוף אפיני

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, צירוף אפיני של וקטורים x1, ..., xn הוא צירוף לינארי

i=1nαixi=α1x1+α2x2++αnxn

שבו סכום המקדמים הוא 1, כלומר:

i=1nαi=1.

הווקטורים משוכנים במרחב וקטורי V מעל שדה K; והמקדמים αi הם סקלרים ב-K.

מושג זה חשוב בגאומטריה אוקלידית.

בהינתן העתקה אפינית, כל צירוף אפיני של נקודות שבת של ההעתקה גם הוא נקודת שבת של ההעתקה, לכן נקודות השבת יוצרות מרחב אפיני (בתלת-ממד: קו, מישור והמקרה הטריוויאלי של נקודה והמישור כולו).

מוטיבציה

נניח שיש אי ודאות בנקודת הראשית במרחב מסוים ואנו חושבים שזאת נקודה p (אך למעשה זו נקודה אחרת). נניח שרוצים לחבר שתי נקודות: a ו-b. נמתח קו מנקודה p לנקודה a, קו נוסף מנקודה p לנקודה b וניעזר בכלל המקבילית למצוא את נקודה a+b לפי הנחתנו לגבי הראשית. למעשה קיבלנו את הנקודה p + (ap) + (bp). באופן דומה נוכל ליצור צירוף לינארי של a ו-b או של כל קבוצה סופית של וקטורים. לרוב, נקבל תשובה שגויה (בגלל ההנחה לגבי הראשית), אולם אם סכום המקדמים של הצירוף הלינארי הוא 1 התשובה תהיה נכונה.

תיאור ההוכחה: נניח x הוא תוצאת צירוף אפיני של וקטורים xi עם מקדמים αi. באופן דומה x הוא צירוף אפיני עם אותם מקדמים, של הווקטורים המוזזים x'i=xip, אזי:

x=p+i=1nαi(xip)=p+i=1nαixi(i=1nαi)p=p+i=1nαixip=x

צירוף_אפיני14504769Q938614