פתרון מישל

פתרון מישל הוא פתרון כללי למשוואות האלסטיות בקואורדינטות קוטביות ( $r,\theta \,$ ) פותח על ידי ג'ון הנרי מישל . הפתרון נכתב כסדרת פורייה ב $\theta \,$ .

מישל ^[1] הראה שניתן לבטא את הפתרון הכללי במונחים של פונקציית מאמץ איורי מהצורה

{\begin{aligned}\varphi (r,\theta )&=A_{0}~r^{2}+B_{0}~r^{2}~\ln(r)+C_{0}~\ln(r)\\&+\left(I_{0}~r^{2}+I_{1}~r^{2}~\ln(r)+I_{2}~\ln(r)+I_{3}~\right)\theta \\&+\left(A_{1}~r+B_{1}~r^{-1}+B_{1}'~r~\theta +C_{1}~r^{3}+D_{1}~r~\ln(r)\right)\cos \theta \\&+\left(E_{1}~r+F_{1}~r^{-1}+F_{1}'~r~\theta +G_{1}~r^{3}+H_{1}~r~\ln(r)\right)\sin \theta \\&+\sum _{n=2}^{\infty }\left(A_{n}~r^{n}+B_{n}~r^{-n}+C_{n}~r^{n+2}+D_{n}~r^{-n+2}\right)\cos(n\theta )\\&+\sum _{n=2}^{\infty }\left(E_{n}~r^{n}+F_{n}~r^{-n}+G_{n}~r^{n+2}+H_{n}~r^{-n+2}\right)\sin(n\theta )\end{aligned}}

האיברים $A_{1}~r~\cos \theta \,$ ו- $E_{1}~r~\sin \theta \,$ מגדירים מצב טריוויאלי של מאמץ, כלומר זה פוטנציאל שמשרה 0 מאמץ.

מרכיבי מאמץ

ניתן להשיג את מרכיבי המאמץ על ידי החלפת פתרון מישל במשוואות המתח במונחים של פונקציית המאמץ של איירי (בקואורדינטות גליליות). טבלה של מרכיבי מתח מוצגת להלן. ^[2]

רכיבי העתק

שדה העתק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u_r, u_\theta)} ניתן להשיג מהפתרון של מישל על ידי שימוש ביחסי מאמץ-מעוות ומעוות-העתק. להלן טבלה של רכיבי תזוזה התואמים את המונחים בפונקציית המאמץ של איירי עבור פתרון מישל. בטבלה זו

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \kappa = \begin{cases} 3 - 4~\nu & \rm{for~plane~strain} \\ \cfrac{3 - \nu}{1 + \nu} & \rm{for~plane~stress} \\ \end{cases} }

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} הוא יחס פואסון, ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} הוא מודול הגזירה.

יש לציין שניתן להוסיף העתק גוף צפיד על פתרון מישל של הצורה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} u_r &= A~\cos\theta + B~\sin\theta \\ u_\theta &= -A~\sin\theta + B~\cos\theta + C~r\\ \end{align} }

כדי לקבל שדה העתק קביל.

הערות שוליים

^ Michell, J. H. (1899-04-01). "On the direct determination of stress in an elastic solid, with application to the theory of plates". Proc. London Math. Soc. 31 (1): 100–124. doi:10.1112/plms/s1-31.1.100.
^ J. R. Barber, 2002, Elasticity: 2nd Edition, Kluwer Academic Publishers.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

36468741פתרון מישל

[1] Michell, J. H. (1899-04-01). "On the direct determination of stress in an elastic solid, with application to the theory of plates". Proc. London Math. Soc. 31 (1): 100–124. doi:10.1112/plms/s1-31.1.100.

[2] J. R. Barber, 2002, Elasticity: 2nd Edition, Kluwer Academic Publishers.

[1]

[2]

פתרון מישל

מרכיבי מאמץ

רכיבי העתק

הערות שוליים

תפריט ניווט

חיפוש