מלוח שחמט הורידו את שתי הפינות הנגדיות. כיצד ניתן לכסות את הלוח לגמרי בעזרת 31 אבני דומינו, אשר כל אחת מהם מכסה שתי משבצות סמוכות?
יש גם חידת בונוס!
פתרון
כל אבן דומינו מכסה משבצת אחת שחורה ומשבצת אחת לבנה ולכן בסה"כ אבני הדומינו צריכות לכסות אותו מספר משבצות לבנות כשחורות. מאידך, המשבצות שנגזרו מהלוח שתיהן מאותו צבע, ולכן יש יותר משבצות מצבע אחד מאשר מהצבע האחר. לכן לא ניתן לבצע את המשימה הנדרשת.
חידת בונוס- אם נגזור מהלוח שתי משבצות, אחת שחורה ואחת לבנה, האם תמיד ניתן יהיה לפתור את החידה?
א) כמה מלכים ניתן להציב על לוח בלי שהם יאיימו זה על זה?
ב) מהו המספר המינימלי של מלכים שיש להציב כך שכל הלוח יהיה מאוים? (משבצת שעליה מונח מלך נחשבת מאוימת)
ג) הכלל פתרונות אלה ללוח nxn.
פתרון
א) ניתן לחלק את הלוח ל-16 ריבועים 2x2 ולהציב בכל אחד מהם מלך. לא ניתן לשפר, כיוון שבין שני מלכים מוכרח להיות רווח של לפחות משבצת אחת.
8
7
6
5
4
3
2
1
א
ב
ג
ד
ה
ו
ז
ח
ב) ניתן לחלק את הלוח ל-9 ריבועים 3x3 ולהציב במרכזו של כל אחד מהם מלך. לא ניתן לשפר, כיוון שאין למלך שליטה מעבר לריבוע זה.
8
7
6
5
4
3
2
1
א
ב
ג
ד
ה
ו
ז
ח
ג) (1) אם n מתחלק ב-2, אז מספר הריבועים 2x2 (וגם הפתרון) הוא . אם לא, אז יש להוסיף מלבנים 2x1 וריבוע 1x1 באופן שמתקבלים . ניתן לרשום את שתי התוצאות ביחד: כאשר הוא הערך השלם של x.
(2) אם n מתחלק ב-3, מספר הריבועים יהיה . אם הוא נותן שארית 1, יש להוסיף מסביב מלבנים 2x3 ובפינות ריבועים 2x2 ומתקבל . אם נותן שארית 2, יש להוסיף מלבנים 2x3 משני צדדים וריבוע 2x2 בפינה באופן שמתקבל . ניתן לרשום את שלוש התוצאות ביחד:
|- style="vertical-align:middle;"
| style="width:25%; text-align:center; border:1px solid #000000;" | 10
| style="width:50%; text-align:right; border:1px solid #000000;" | המצב הבא הוא לאחר 4 מסעים מתחילת המשחק. מה היו המסעים?
2)נתונה הדיאגרמה הבאה. האם תוכל להגיע לדיאגרמה בסעיף 1 תחת אותם תנאים?
פתרון
לא. כי נשים לב שאפשר לסדר את שמונת המשבצות שבהם הפרשים יכולים להיות בסדר הבא:
ג3 ב1 א3 ג2 א1 ב3 ג1 א2
בסדר הזה, כל פרש יכול לזוז רק ימינה או שמאלה. במצב ההתחלתי הפרשים בסדר לבן-שחור-לבן-שחור, לכן אי אפשר להגיע למצב של לבן-לבן-שחור-שחור.
|- style="vertical-align:middle;"
| style="width:25%; text-align:center; border:1px solid #000000;" | 14
| style="width:50%; text-align:right; border:1px solid #000000;" | אתה מתמודד בשני משחקים בו זמנית, מול אלוף העולם וסגנו. באחד מהלוחות אתה משחק בכלים הלבנים, ובשני - השחורים. איך תוכל להשיג לפחות נקודה אחת? (ניצחון מזכה בנקודה ותיקו בחצי, כלומר עליך לנצח לפחות אחד מהמשחקים או להשיג תיקו בשניהם).
פתרון
עליך לחקות כל מהלך ללוח השני. כלומר, לאחר שהלבן משחק - בצע את אותו התור בלוח השני, ואז את תגובת השחור בצע בלוח הראשון וכן הלאה. כך אם תפסיד באחד הלוחות בהכרח תנצח בשני, ואם באחד מהם יהיה תיקו אז גם בשני. למעשה מבוצע כאן משחק בין אלוף העולם לבין סגנו, ואתה רק מתווך ביניהם.
|- style="vertical-align:middle;"
| style="width:25%; text-align:center; border:1px solid #000000;" | 15
| style="width:50%; text-align:right; border:1px solid #000000;" | חידת מט בשלושה מסעים (כלומר הלבן משחק, ולכל תשובה של השחור, עונה, ולכל תשובה של השחור מנחית מט) אלא שחובה להזיז את כל אחד מהכלים פעם אחת בדיוק.