פונקציית קסי של רימן

פונקציית קסי של רימן במישור המרוכב

במתמטיקה, פונקציית קסי של רימן (על שם המתמטיקאי ברנהרד רימן) היא פונקציה מרוכבת הקשורה לפונקציית זטא של רימן ומוגדרת על ידי משוואה פונקציונלית על בסיס פונקציית גמא ופונקציית זטא הנ"ל.

הגדרת הפונקציה

ההגדרה המקורית של פונקציית קסי של רימן השתנתה על ידי אדמונד לנדאו, ומסומנת על ידי קסי גדולה ($\Xi$). הפונקציה של לנדאו מוגדרת להיות:

$\xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\zeta (s)$

עבור $s\in \mathbb {C}$ , כאשר $\Gamma$ פונקציית גמא ו-$\xi$ פונקציית זטא של רימן. ניתן לראות על פי ההגדרה של הפונקציה כי

$\xi (1-s)=\xi (s)$

ההגדרה של פונקציית $\Xi$ על פי לנדאו (אשר הייתה הפונקציה המקורית של רימן) היא:

$\Xi (z)=\xi ({\frac {1}{2}}+zi)$

המאופיינת על ידי המשוואה הפונקציונלית הבאה:

$\Xi (-z)=\Xi (z)$

מאפייני הפונקציה

• $\xi (2n)={\frac {(-1)^{n+1}n!}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n-1)$

כאשר $B_{n}$ מספר ברנולי ה-$n$-י. אפשר לראות כי $\xi (2)={\frac {\pi }{6}}$ .

• ${\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n}$

כאשר

• $\lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log {\bigl (}\xi (s){\bigr )}\right]{\bigg |}_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]$

כאשר $\rho$ מוגדרת להיות השורשים הלא-טריויאליים של פונקציית זטא של רימן. הטור למעלה חשוב מאד לקריטריון לי, האומר כי השערת רימן שקולה לכך ש-$\lambda _{n}>0$ לכל $n$ חיובי.

• $\Xi (s)=\Xi (0)\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {s}{\alpha }}\right)$

כאשר $\alpha$ מוגדרת להיות שורשי $\xi$ .