פונקציית קסי של רימן

במתמטיקה, פונקציית קסי של רימן (מסומנת באות $ξ$ ) היא וואריאנט של פונקציית זטא של רימן המקיימת משוואה פונקציונלית פשוטה. הפונקציה נקראת על שם ברנהרד רימן.

הגדרת הפונקציה

בעקבות אדמונד לנדאו, פונקציית קסי מוגדרת על ידי:

ξ (s) = \frac{1}{2} s (s - 1) π^{- s / 2} Γ (\frac{1}{2} s) ζ (s)

עבור $s \in ℂ$ , כאשר $Γ$ היא פונקציית גמא ו- $ζ$ היא פונקציית זטא של רימן. לפי הגדרה זו,

ξ (1 - s) = ξ (s)

.

ההגדרה המקורית, שכיום מסומנת ב- $Ξ$ , היא:

Ξ (z) = ξ (\frac{1}{2} + z i)

ומקיימת את המשוואה הפונקציונלית

Ξ (- z) = Ξ (z)

.

מאפייני הפונקציה

$ξ (2 n) = (- 1)^{n + 1} \frac{1}{(2 n)!} B_{2 n} 2^{2 n - 1} π^{n} (2 n^{2} - n) (n - 1)!$

כאשר $B_{n}$ מציין את מספר ברנולי ה- $n$ -י'. אפשר לראות כי $ξ (2) = \frac{π}{6}$ .

$\frac{d}{d z} \ln ξ (\frac{- z}{1 - z}) = \sum_{n = 0}^{\infty} λ_{n + 1} z^{n}$

כאשר

$λ_{n} = \frac{1}{(n - 1)!} {\frac{d^{n}}{d s^{n}} [s^{n - 1} \log ξ (s)] |}_{s = 1} = \sum_{ρ} [1 - {(1 - \frac{1}{ρ})}^{n}]$

כאשר ρ מוגדרת להיות השורשים הלא-טריוויאליים של פונקציית זטא של רימן. הטור למעלה חשוב מאוד לקריטריון לי, אשר אומר שהשערת רימן שקולה לכך ש- $λ_{n} > 0$ לכל $n$ חיובי.

$Ξ (s) = Ξ (0) \prod_{α} (1 - \frac{s}{α})$

כאשר $α$ מוגדרת להיות השורשים של $ξ$ .

קישורים חיצוניים

פונקציית קסי של רימן, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פונקציית קסי של רימן39191585Q2152235