פונקציית גמא הלא שלמה

פונקציית גמא הלא-שלמה מוגדרת על ידי אינטגרל בעל אותו אינטגרנד כמו פונקציית גמא, אך עם גבולות אינטגרציה שונים: ישנם שני סוגיים של פונקציית גמא הלא-שלמה: עליונה ותחתונה.

פונקציית גמא הלא-שלמה העליונה מוגדרת:

$\mathrm{\Gamma }(s,x)=\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{s-1}{e}^{-t}dt$

פונקציית גמא הלא-שלמה התחתונה מוגדרת:

$\gamma (s,x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{s-1}{e}^{-t}dt$

מאפיינים של פונקציית גמא הלא-שלמה

מההגדרה ניתן להבין כי

$\gamma (s,x)+\mathrm{\Gamma }(s,x)=\mathrm{\Gamma }(s)$

על ידי אינטגרציה בחלקים אפשר להגיע למסקנה:

$\begin{array}{rl}\mathrm{\Gamma }(s,x)& =(s-1)\mathrm{\Gamma }(s-1,x)+x^{s-1}{e}^{-x}\\ \gamma (s,x)& =(s-1)\gamma (s-1,x)-x^{s-1}{e}^{-x}\end{array}$

תכונות

• $\mathrm{\Gamma }(s,x)=(s-1)!e^{-x}\sum _{k=0}^{s-1}\frac{x^k}{k!}$ כאשר $s\in \mathbb{\mathbb{N}}$
• $\mathrm{\Gamma }(s,0)=\mathrm{\Gamma }(s)$
• $\mathrm{\Gamma }(1,x)=e^{-x}$
• $\gamma (1,x)=1-e^{-x}$

מאפיינים של נגזרת הפונקציה

• $\frac{\partial \mathrm{\Gamma }(s,x)}{\partial x}=-\frac{x^{s-1}}{e^x}$

הגדרת מקרה מיוחד של פונקציית $G$ של ("Meijer G") מאייר:

$T(m,s,x)=G_{m-1,m}^{m,0}\left(\begin{array}{c}0,0,\dots ,0\\ s-1,-1,\dots ,-1\end{array}\right|x)$

$T(m,s,z)=\frac{(-1{)}^m}{(m-2)!}\frac{d^{m-2}}{d{t}^{m-2}}[\mathrm{\Gamma }(s-t)z^{t-1}]{|}_{t=0}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{s-1+n}}{n!(-s-n{)}^{m-1}}$ כאשר $|z|<1$

• $\frac{\partial \mathrm{\Gamma }(s,x)}{\partial s}=\ln (x)\mathrm{\Gamma }(s,x)+xT(3,s,x)$
• $\frac{{\partial }^2\mathrm{\Gamma }(s,x)}{\partial s^2}=\ln (x{)}^2\mathrm{\Gamma }(s,x)+2x[\ln (x)T(3,s,x)+T(4,s,x)]$
• $\frac{{\partial }^m\mathrm{\Gamma }(s,x)}{\partial s^m}=\ln (x{)}^m\mathrm{\Gamma }(s,x)+mx\sum _{n=0}^{m-1}{P}_n^{m-1}\ln (x{)}^{m-n-1}T(3+n,s,x)$ וגם $P_j^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})j!=\frac{n!}{(n-j)!}$

התנהגות אסימפטוטית

• $\frac{\gamma (s,x)}{x^s}\to \frac{1}{s}$ כאשר $x\to 0$
• $\frac{\mathrm{\Gamma }(s,x)}{x^s}\to -\frac{1}{s}$ כאשר $x\to 0$ וגם $\text{Re}(s)<0$
• $\gamma (s,x)\to \mathrm{\Gamma }(s)$ כאשר $x\to \mathrm{\infty }$
• $\frac{\mathrm{\Gamma }(s,x)}{x^{s-1}{e}^{-x}}\to 1$ כאשר $x\to \mathrm{\infty }$

הערות שוליים

פונקציית_גמא_הלא_שלמה17533656Q1319246