פונקציית גמא הלא שלמה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

פונקציית גמא הלא-שלמה מוגדרת על ידי אינטגרל בעל אותו אינטגרנד כמו פונקציית גמא, אך עם גבולות אינטגרציה שונים: ישנם שני סוגיים של פונקציית גמא הלא-שלמה: עליונה ותחתונה.

פונקציית גמא הלא-שלמה העליונה מוגדרת:

Γ(s,x)=xts1etdt

פונקציית גמא הלא-שלמה התחתונה מוגדרת:

γ(s,x)=0xts1etdt

מאפיינים של פונקציית גמא הלא-שלמה

מההגדרה ניתן להבין כי

γ(s,x)+Γ(s,x)=Γ(s)

על ידי אינטגרציה בחלקים אפשר להגיע למסקנה:

Γ(s,x)=(s1)Γ(s1,x)+xs1exγ(s,x)=(s1)γ(s1,x)xs1ex

תכונות

  • Γ(s,x)=(s1)!exk=0s1xkk! כאשר s
  • Γ(s,0)=Γ(s)
  • Γ(1,x)=ex
  • γ(1,x)=1ex

מאפיינים של נגזרת הפונקציה

  • Γ(s,x)x=xs1ex

הגדרת מקרה מיוחד של פונקציית G של ("Meijer G") מאייר[1]:

T(m,s,x)=Gm1,mm,0(0,0,,0s1,1,,1|x)
T(m,s,z)=(1)m(m2)!dm2dtm2[Γ(st)zt1]|t=0+n=0(1)nzs1+nn!(sn)m1 כאשר |z|<1
  • Γ(s,x)s=ln(x)Γ(s,x)+xT(3,s,x)
  • 2Γ(s,x)s2=ln(x)2Γ(s,x)+2x[ln(x)T(3,s,x)+T(4,s,x)]
  • mΓ(s,x)sm=ln(x)mΓ(s,x)+mxn=0m1Pnm1ln(x)mn1T(3+n,s,x) וגם Pjn=(nj)j!=n!(nj)!

התנהגות אסימפטוטית

  • γ(s,x)xs1s כאשר x0
  • Γ(s,x)xs1s כאשר x0 וגם Re(s)<0
  • γ(s,x)Γ(s) כאשר x
  • Γ(s,x)xs1ex1 כאשר x

הערות שוליים

  1. K.O. Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore and T.C. Scott, Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp. 149-165, [1]

פונקציית_גמא_הלא_שלמה17533656Q1319246