פונקציית בחירה חברתית

פונקציית בחירה חברתית בתורת המשחקים היא פונקציה המקבלת את יחסי ההעדפות של הבוחרים בבחירה חברתית ומוציאה את המועמד הנבחר. במקרים רבים החברה אינה צריכה לדרג את כל האפשרויות לפי סדר, אלא לבחור באפשרות אחת. לאפשרות זו נקרא מעתה האפשרות העדיפה על החברה כולה. זה המצב, למשל, בבחירות לנשיאות, לנציג לקונגרס או לראשות ועד, או בחירת המהלך המדיני או הכלכלי "הטוב ביותר" (לדעת קבוצת המחליטים). השאלה היא האם ניתן להתאים לכל פרופיל העדפות חזקות אפשרות אחת, האפשרות העדיפה על החברה כולה, כך שמצד אחד שיטת הבחירה תקיים תכונות רצויות, ומצד שני לא תהיה דיקטטורית.

הגדרה כללית

פונקציית בחירה חברתית בתורת המשחקים, היא פונקציה שמטרתה לבחור את המועמד המועדף על כלל הבוחרים מבין האפשרויות הנתונות.
פונקציית בחירה חברתית מתאימה לכל פרופיל העדפות חזקות אפשרות אחת, שתיקרא "האפשרות העדיפה" על החברה. בפרט, על פי הגדרה זו אין אפשרות שהחברה תבחר בשתי אפשרויות שונות כעדיפות. דוגמאות לפונקציה שכזו ניתן לראות למשל בבחירות לראשות הממשלה, בבחירות לנציגות גוף מסוים, בסקר על אבקת כביסה יעילה ביותר וכדומה.

הגדרה פורמלית

תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} קבוצת האפשרויות, או המועמדים לבחירה, ותהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=\{1,2,\cdots,n\}} קבוצת הבוחרים. יחס העדפות על קבוצת האפשרויות $A$ הוא יחס סדר חזק. את קבוצת יחסי ההעדפות החזקים על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} מסמנים ב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P\left( A \right)} ,
והעדפה חזקה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} לפי יחס הסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_i} מסמנים בהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a>_{P_i}b} .

לכל בוחר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} יש יחס העדפות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_i} על קבוצת האפשרויות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} . רשימת יחסי ההעדפות החזקות של כל הבוחרים נקראת בשם פרופיל העדפות חזקות, והיא תסומן בהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P=\{P_1,\cdots,P_n\}} .
פונקציית בחירה חברתית היא פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F : P(A)^n \rightarrow A} , המתאימה לכל וקטור של יחסי העדפות חזקים $P=\{P_{1},\cdots ,P_{n}\}\in P\left(A\right)^{n}$
מועמד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} . נאמר שהמועמד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(P)} הוא המועמד המועדף על החברה, כאשר יחסי ההעדפות של הבוחרים ניתנים על ידי פרופיל ההעדפות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} .

תכונות

ישנן מספר תכונות שניתן לדרוש אותן או לחלופין להימנע מהן עבור פונקציית הבחירה החברתית:

• מונוטוניות:

דרישה סבירה מפונקציית בחירה חברתית היא מונוטוניות : אם עבור פרופיל העדפות חזקות מסוים נבחרת האפשרות a, אזי בכל פרופיל העדפות חזקות אחר שבו השתפר מיקומו של a, או לפחות לא הורע אצל כל הפרטים, נבחרת גם כן האפשרות a.

פונקציית בחירה חברתית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} נקראת מונוטונית אם לכל שני פרופילי העדפות חזקות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_2} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_1} המקיימים: לכל בוחר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} , ולכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \in A} אם לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} שונה מ הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} מתקיים

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a>_{P_1}b}
 הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Leftarrow}
 הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle a>_{P_{2}}b}
,

ואם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F\left( P_1 \right)=a} , אזי גם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F\left( P_2 \right)=a} .

נשים לב שבתכונת המונוטוניות חבוי גם מרכיב של אי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות, משום שבהחלט ייתכן שהמעמד של אפשרויות אחרות, שונות מ a, בשני הפרופילים השתנה, אך הדבר אינו משפיע על כך ש a נבחר.

• דיקטטורה: פונקציית בחירה חברתית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} נקראת דיקטטורית אם קיים בוחר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} כך שלכל פרופיל העדפות חזקות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} מתקיים ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F\left( P \right)} היא האפשרות המועדפת ביותר על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} .

במקרה זה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} יקרא דיקטטור. פונקציית הבחירה הדיקטטורית הינה מונוטונית.

• פה אחד:

כמו במקרה של פונקציית רווחה חברתית, תנאי סביר לדרוש מפונקציית בחירה חברתית הוא, שאם כל הפרטים בחברה מעדיפים את אפשרות a על פני כל שאר האפשרויות, גם החברה כולה תעדיף את a.

פונקציית בחירה חברתית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} נקראת פה אחד אם לכל פרופיל העדפות חזקות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} ולכל אפשרות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \in A} מתקיים שאם לכל אפשרות $b$ שונה מ הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ולכל בוחר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i \in N} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a>_{P_i}b} , אזי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F\left( P \right)=a} .

משפט גיבארד-סתרסוויט

אם מספר המועמדים גדול מ- או שווה ל-3, כל פונקציית בחירה חברתית המקיימת את תכונות המונוטוניות והפה אחד היא דיקטטורית.

ראו גם

• מניפולציה (תורת המשחקים)

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946