פונקציית בוכשטאב

Graph of the Buchstab function ω(u) from u = 1 to u = 4.

פונקציית בוכשטאב היא הפונקציה הרציפה היחידה $\omega :\mathbb {R} _{\geq 1}\rightarrow \mathbb {R} _{>0}$ , שמוגדרת על ידי משוואת שיהוי דיפרנציאלית:

\omega (u)={\frac {1}{u}},\qquad \qquad \qquad 1\leq u\leq 2,

{\frac {d}{du}}(u\omega (u))=\omega (u-1),\qquad u\geq 2.

. יש להשתמש בנגזרת שבנקודה u = 2, כאשר u שואפת ל-2 מימין.

הפונקציה נקראת על שמו של המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר בוכשטאב (Александр Адольфович Бухштаб,‏ 1905–1990), שכתב עליה בשנת 1937.

אסימפטוטיות

אם $\gamma$ מסמן את קבוע אוילר-מסקרוני , אז מתברר כי פונקציית בוכשטאב מתקרבת במהירות אל $e^{-\gamma }$ כאשר $u\to \infty$ . למעשה, $|\omega (u)-e^{-\gamma }|\leq {\frac {\rho (u-1)}{u}},\qquad u\geq 1,$ , כאשר ρ היא פונקציית דיקמן (Dickman)^[1]. כמו כן, הערך $\omega (u)-e^{-\gamma }$ מתנודד באופן רגיל, לסירוגין - בין נקודות הקיצון - לבין האפסים; נקודות הקיצון מתחלפות בין נקודות מקסימום חיוביות לבין נקודות מינימום שליליות. המרווח שבין נקודות קיצון עוקבות שואף ל-1 כאשר u שואף לאינסוף, וכך גם המרווח בין אפסים עוקבים^[2].

יישומים

פונקציית בוכשטאב משמשת למניית מספרים מחוספסים: אם Φ(x, y) הוא מספר המספרים השלמים החיוביים שקטנים או ששווים ל-x ללא גורם ראשוני שקטן מ-y, אז לכל u > 1 קבוע, מתקיים: $\Phi (x,x^{1/u})\sim \omega (u){\frac {x}{\log x^{1/u}}},\qquad x\to \infty$

הערות שוליים

^ An improvement of Selberg’s sieve method, W. B. Jurkat and H. E. Richert, Acta Arithmetica 11 (1965), סעיף 5.13. במאמרם, הוסט הארגומנט של p - ביחידה אחת - ביחס להגדרה הרגילה.
^ A. Y. Cheer and D. A. Goldston, Mathematics of Computation 55 (1990), עמוד 131.