פולינומי לז'נדר

במתמטיקה, פולינומי לז'נדר הם פולינומים אורתוגונלים המהווים את סדרת הפתרונות למשוואת לז'נדר:

${d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}P_{n}(x)\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0.$

הפולינומים נקראים על שם המתמטיקאי הצרפתי אדריאן-מארי לז'נדר. המשוואות הדיפרנציאליות הרגילות הללו מופיעות באופן טבעי במגוון בעיות פיזיקליות, בפרט, בפתרון משוואת לפלס בקואורדינטות כדוריות.

למשוואה זו נקודות סינגולריות רגולריות (Regular Singular Point) ב-$x=\pm 1$, והיא ניתנת לפתרון בשיטת טור חזקות (שיטת פרובניוס). הנירמול הסטנדרטי הוא: $\ P_{n}(1)=1$.

את הפולינום ה-$n$ ניתן לחשב באמצעות נוסחת רודריגז:

$P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].$

פולינומי לז'נדר הראשונים

להלן רשימת אחד עשר הפולינומים הראשונים (כלומר, עד n=10):

n	$P_{n}(x)\,$
0	$1\,$
1	$x\,$
2	${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)\,$
3	${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)\,$
4	${\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,$
5	${\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,$
6	${\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,$
7	${\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,$
8	${\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,$
9	${\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,$
10	${\begin{matrix}{\frac {1}{256}}\end{matrix}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,$

להלן גרף של ששת הפולינומים הראשונים, בתחום 1>|x|.

תכונות ומאפיינים

אורתוגונליות

סדרות רבות של פונקציות המהוות פתרון למשוואה דיפרנציאלית מקיימות תנאי אורתוגונליות עבור מכפלה פנימית מסוימת (מרחב הילברט). לרוב, לכל סדרת פונקציות בנפרד יש מכפלה פנימית שונה עבורה הסדרה אורתוגונלית. המכפלה הפנימית עבורה פולינומי לז'נדר הם אורתוגונלים נתונה על ידי:

$\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}$

כאשר $\ \delta$ היא הדלתא של קרונקר.

ניתן להגיע אל הפולינומים בעזרת תהליך גרם-שמידט עבור חזקות שלמות של $\ x$ לפי המכפלה הפנימית שהוגדרה.

פונקציה יוצרת

הפונקציה היוצרת, של פולינומי לז'נדר היא: ${\frac {1}{\sqrt {1+\eta ^{2}-2\eta x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\eta ^{k}P_{k}(x)$

יחסי רקורסיה

בנוסף לנוסחת חישוב כללית (המצריכה בעצם פעולת צעד-צעד, היות שצריך לחשב נגזרות מסדרים גבוהים), ישנה אפשרות לחשב את פולינומי לז'נדר בעזרת נוסחת רקורסיה, כלומר, נוסחה המחשבת את הפולינום מסדר מסוים כתוצאה משני הפולינומים שלפניו. נוסחת הרקורסיה נתונה על ידי:

$P_{n}(x)={\frac {1}{n}}((2n-1)xP_{n-1}(x)-(n-1)P_{n-2}(x))\,$

הצגה אינטגרבילית

הצגה אינטגרבילית של פולינום לז'נדר: $P_{n}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int (1-2tz+t^{2})^{1/2}t^{-n-1}dt$

שימושים

פולינומי לז'נדר שימושיים מאד בפיזיקה ומשמשים למגוון חישובים. הידועים שבהם הם בתחום האלקטרוסטטיקה ותורת הקוונטים.

• באזור ללא מטענים חשמליים (אך עם תנאי שפה שונים מאפס), כאשר לבעיה יש סימטריה גלילית, ניתן לחשב את הפוטנציאל החשמלי במרחב בעזרת:

$\Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right]P_{\ell }(\cos \theta )$

כאשר המקדמים $A_{\ell }$ ו - $B_{\ell }$ יקבעו בהתאם לתנאי השפה של הבעיה.

• כאשר רוצים לחשב את הפוטנציאל החשמלי של מטען נקודתי אשר איננו נמצא בראשית מערכת צירים (במערכת קורדינאטות כדורית), ניתן לחשבו בעזרת (שימו לב שמדובר בפרופורציוניות ולא בשיויון):

$\Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{R}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}.$

את הפונקציה הזו ניתן לחשב בעזרת פולינומי לז'נדר לפי הצורה הבאה: $\Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta )$

• פולינומי לז'נדר משמשים גם כפתרון לחלק הזוויתי (הזווית הנפתחת מציר ה-z) של משוואת שרדינגר עבור מקרה של פוטנציאל מרכזי. במקרה זה, ישנה גם תלות במרחק מהראשית r וכן בזווית סביב ציר z (החלק האזימותלי). את התלות המשותפת בשתי הזוויות ניתן להציג בעזרת הרמוניות ספריות.

פולינומי לז'נדר הנלווים

נסתכל על המשוואה הדיפרנציאלית הבאה:

${d \over dx}\left[(1-x^{2}){dy \over dx}\right]+\left(n(n+1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)y=0.$

עבור $m=0$ נקבל את משוואת לז'נדר הרגילה. פתרון המשוואה באופן כללי מניב את פולינומי לז'נדר הנלווים $P_{l}^{m}(x)$ וניתן לחשב אותם בצורה הבאה על ידי שימוש בנוסחת רודריגז:

$P_{l}^{m}(x)={\frac {(-1)^{m}}{2^{l}l!}}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{d^{l+m} \over dx^{l+m}}(x^{2}-1)^{l}$

פולינומי לז'נדר המוכללים מהווים את החלק הזוויתי בהרמוניות הספריות, ויחס האורתוגונליות ביניהם הוא:

$\int _{-1}^{1}P_{k}^{m}P_{\ell }^{m}dx={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }$

קישורים חיצוניים

• פולינומי לז'נדר, באתר MathWorld (באנגלית)