פוטנציאל מעוכב

באלקטרודינמיקה, פוטנציאלים מעוכבים (retarded potentials) הם פוטנציאלים אלקטרומגנטיים בשדה אלקטרומגנטי שנוצר על ידי זרם חשמלי משתנה בזמן או צפיפות מטען משתנה בזמן - בעבר.

השדות מתפשטים במהירות האור c, ולכן ההשהיה של השדות המחברים סיבה ותוצאה בזמנים מוקדמים ומאוחרים הוא גורם חשוב: לאות לוקח זמן סופי להתפשט מנקודה בתוך התפלגות המטען או הזרם (נקודת ה"סיבה") לנקודה אחרת במרחב (שם ההשפעה נמדדת), ראו איור למטה.

בכיול לורנץ

מיקום הווקטורים r ו- r ′ המשמשים בחישוב.

נקודת המוצא היא משוואות מקסוול בגישת שדה הפוטנציאל שלהן, בעזרת כיול לורנץ:

$◻\phi =\frac{\rho }{{ϵ}_0},◻\mathbf{𝐀}={\mu }_0\mathbf{𝐉}$

כאשר φ( r, t ) הוא הפוטנציאל החשמלי ו- A ( r, t ) הוא הפוטנציאל הווקטורי המגנטי, עבור מקור שרירותי של צפיפות המטען ρ( r, t ) וצפיפות הזרם J ( r, t ), וכן $◻$ הוא הד'אלמבריאן. פתרון משוואות אלו נותן את הפוטנציאלים המעוכבים למטה (כולם ביחידות SI).

עבור שדות תלויי זמן

עבור שדות תלויי זמן, הפוטנציאלים המעוכבים הם:

$\mathrm{\phi }(\mathbf{𝐫},t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\int \frac{\rho ({\mathbf{𝐫}}^{\prime },t_r)}{|\mathbf{𝐫}-{\mathbf{𝐫}}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{\mathbf{𝐫}}^{\prime }$

$\mathbf{𝐀}(\mathbf{𝐫},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{\mathbf{𝐉}({\mathbf{𝐫}}^{\prime },t_r)}{|\mathbf{𝐫}-{\mathbf{𝐫}}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{\mathbf{𝐫}}^{\prime }.$

כאשר r הוא נקודה במרחב, t הוא הזמן, ו-

$t_r=t-\frac{|\mathbf{𝐫}-{\mathbf{𝐫}}^{\prime }|}{c}$

הוא הזמן המעוכב, ו-$d^3{\mathbf{𝐫}}^{\prime }$ הוא גורם האינטגרציה לפי ${\mathbf{𝐫}}^{\prime }$ .

מ-φ( r, t) ו- A ( r, t ), ניתן לחשב את השדות E ( r, t ) ו- B ( r, t ) באמצעות הגדרת הפוטנציאלים:

$-\mathbf{𝐄}=\mathrm{\nabla }\phi +\frac{\partial \mathbf{𝐀}}{\partial t},\mathbf{𝐁}=\mathrm{\nabla }\times \mathbf{𝐀}.$

השוואה לפוטנציאלים סטטיים עבור שדות בלתי-תלויים בזמן

במקרה שהשדות אינם תלויי זמן (שדות אלקטרוסטטיים ומגנטוסטטיים), נגזרות הזמן של האופרטור $◻$ מתאפסות, והמשוואות של מקסוול מצטמצמות ל:

${\mathrm{\nabla }}^2\phi =-\frac{\rho }{{ϵ}_0},{\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{𝐀}=-{\mu }_0\mathbf{𝐉},$

כאשר ${\mathrm{\nabla }}^2$ הוא הלפלסיאן.

המשוואות מקבלות צורה של משוואות פואסון בארבעה רכיבים (אחד עבור φ ושלושה עבור A), והפתרונות שלהן הם:

$\mathrm{\phi }(\mathbf{𝐫})=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\int \frac{\rho ({\mathbf{𝐫}}^{\prime })}{|\mathbf{𝐫}-{\mathbf{𝐫}}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{\mathbf{𝐫}}^{\prime }$

$\mathbf{𝐀}(\mathbf{𝐫})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{\mathbf{𝐉}({\mathbf{𝐫}}^{\prime })}{|\mathbf{𝐫}-{\mathbf{𝐫}}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{\mathbf{𝐫}}^{\prime }.$

אלה גם נובעים ישירות מהפוטנציאלים המעוכבים.

פוטנציאל ליאנארד-ויקרט

במקרה הפרטי שבו השדה החשמלי נגרם עקב מטען נקודתי בודד שמסלולו ${\mathbf{r}}_{\mathbf{𝐬}}(t)$, הפוטנציאלים המעוכבים המתקבלים בכיול לורנץ הם פוטנציאלי ליאנארד-ויקרט, על שמם של אלפרד-מארי לינארד ואמיל ויקרט. פוטנציאלים אלו הם:

$\phi (\mathbf{𝐫},t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{\left(\frac{q}{(1-{\mathbf{𝐧}}_s\cdot {\mathit{\beta }}_s)|\mathbf{𝐫}-{\mathbf{𝐫}}_s|}\right)}_{t_r}$

$\mathbf{𝐀}(\mathbf{𝐫},t)=\frac{{\mu }_{0}c}{4\pi }{\left(\frac{q{\mathit{\beta }}_s}{(1-{\mathbf{𝐧}}_s\cdot {\mathit{\beta }}_s)|\mathbf{𝐫}-{\mathbf{𝐫}}_s|}\right)}_{t_r}$

זאת כאשר:

• ${\mathit{\beta }}_s=\frac{1}{c}\frac{d{\mathbf{𝐫}}_s}{dt}$ היא מהירות המטען המנורמלת למהירות האור
• $|\mathbf{𝐫}-{\mathbf{𝐫}}_s|$ הוא המרחק בין נקודת המדידה של הפוטנציאל לבין מיקום המקור
• ${\mathbf{𝐧}}_s=\frac{\mathbf{𝐫}-{\mathbf{𝐫}}_s}{|\mathbf{𝐫}-{\mathbf{𝐫}}_s|}$ הוא וקטור היחידה המקשר מהמקור אל נקודת המדידה
• הסימן $(...{)}_{t_r}$ משמעותו חישוב הערך שבתוך הסוגריים בזמן המעוכב $t_r=t-\frac{1}{c}|\mathbf{𝐫}-{\mathbf{𝐫}}_s|$

נשים לב שכדי למצוא את הזמן המעוכב עלינו לפתור את המשוואה:

$|\mathbf{𝐫}-{\mathbf{𝐫}}_s(t_r)|=c(t-t_r)$

בכיול קולון

בכיול קולון, משוואות מקסוול הן

${\mathrm{\nabla }}^2\phi =-\frac{\rho }{{ϵ}_0}$

${\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{𝐀}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\mathbf{𝐀}}{\partial t^2}=-{\mu }_0\mathbf{𝐉}+\frac{1}{c^2}\mathrm{\nabla }\left(\frac{\partial \phi }{\partial t}\right),$

הפתרונות המתקבלים בכיול זה שונים מהפתרונות המתקבלים בכיול לורנץ מכיוון ש-A הוא פוטנציאל מעוכב אך φ משתנה באופן מיידי, לפי:

$\phi (\mathbf{𝐫},t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\int \frac{\rho ({\mathbf{𝐫}}^{\prime },t)}{|\mathbf{𝐫}-{\mathbf{𝐫}}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{\mathbf{𝐫}}^{\prime }$

$\mathbf{𝐀}(\mathbf{𝐫},t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\mathrm{\nabla }\times \int {\mathrm{d}}^3{\mathbf{𝐫}}^{\prime }\underset{0}{\overset{|\mathbf{𝐫}-{\mathbf{𝐫}}^{\prime }|/c}{\int }}\mathrm{d}{t}_r\frac{t_r\mathbf{𝐉}({\mathbf{𝐫}}^{\prime },t-t_r)}{|\mathbf{𝐫}-{\mathbf{𝐫}}^{\prime }{|}^3}\times (\mathbf{𝐫}-{\mathbf{𝐫}}^{\prime }).$

התוצאה מציגה יתרון וחיסרון של כיול קולון: φ ניתן לחישוב בקלות מהתפלגות המטען ρ אך לא ניתן לחשב את A מההתפלגות הנוכחית j. עם זאת, בתנאי שאנו דורשים שהפוטנציאלים יתאפסו באינסוף, הם יכולים לבוא לידי ביטוי בצורה מסודרת במונחים של השדות:

$\phi (\mathbf{𝐫},t)=\frac{1}{4\pi }\int \frac{\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{𝐄}(r^{\prime },t)}{|\mathbf{𝐫}-{\mathbf{𝐫}}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{\mathbf{𝐫}}^{\prime }$

$\mathbf{𝐀}(\mathbf{𝐫},t)=\frac{1}{4\pi }\int \frac{\mathrm{\nabla }\times \mathbf{𝐁}(r^{\prime },t)}{|\mathbf{𝐫}-{\mathbf{𝐫}}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{\mathbf{𝐫}}^{\prime }$

בכבידה לינארית

הפוטנציאל המעוכב בגרסה הלינארית של תורת היחסות הכללית דומה מאוד למקרה האלקטרומגנטי. הטנזור בעל העקבה ההפוכה ${\tilde{h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{\eta }_{\mu \nu }h$ ממלא את התפקיד של פוטנציאל ארבעת הווקטורים, הכיול ההרמוני ${\tilde{h}}^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0$ מחליף את כיול לורנץ האלקטרומגנטי, משוואות השדה הן $◻{\tilde{h}}_{\mu \nu }=-16\pi G{T}_{\mu \nu }$, ופתרון הגל המעוכב הוא:

${\tilde{h}}_{\mu \nu }(\mathbf{𝐫},t)=4G\int \frac{T_{\mu \nu }({\mathbf{𝐫}}^{\prime },t_r)}{|\mathbf{𝐫}-{\mathbf{𝐫}}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{\mathbf{𝐫}}^{\prime }$.

ראו גם

• משוואות מקסוול
• זמן מאוחר
• חוק לנץ

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פוטנציאל מעוכב33051370Q1320019