עקרון היהלום

בתורת הקבוצות, עקרון היהלום הוא אקסיומה קומבינטורית בתורת הקבוצות האקסיומטית, שאינה תלויה באקסיומות צרמלו-פרנקל (אפילו עם אקסיומת הבחירה). האקסיומה חזקה מספיק על מנת להוכיח את השערת הרצף המוכללת.

קבוצות סגורות ולא חסומות

יהי $\kappa >{\mathrm{\aleph }}_0$ מונה, קבוע מכאן ולהבא. תת-קבוצה $C\subseteq \kappa$ היא סגורה אם לכל סודר $\delta <\kappa$ שעבורו $\sup (C\cap \delta )=\delta$ מתקיים $\delta \in C$. קבוצה היא סל"ח אם היא סגורה ולא חסומה ב- $\kappa$. חיתוך של משפחה של פחות מ-$\text{cf}(\kappa )$ של סל"חים הוא סל"ח.

קבוצות שבת

קבוצת שבת של הסודר $\kappa$ היא קבוצה S החותכת כל סל"ח באופן לא ריק (לכן אפשר לחשוב על קבוצת שבת כעל קבוצה ממידה חיובית). קבוצה מהווה קבוצת שבת אם ורק אם יש "פונקציה דוחסת" (היינו פונקציה $f:\kappa \to \kappa$ כך שתמיד $f(x)<x$) ש-S היא קבוצת נקודות השבת שלה.

עקרון היהלום

עבור קבוצת שבת S, העקרון ${◊}_S$ קובע שקיימת משפחה של קבוצות $\{A_{\delta }:\delta \in S\}$ כך שלכל קבוצה $A\subseteq \kappa$ קיים $\delta \in S$ כך ש-$A\cap \delta =A_{\delta }$.

העקרון נעשה חזק יותר ככל ש-S קטנה יותר: אם $T\subseteq S$ שתיהן קבוצות שבת, אז ${◊}_T⟹{◊}_S$. עם זאת, אפילו העקרון החלש ביותר, ${◊}_{\kappa }$, אינו נובע מאקסיומות ZFC (אקסיומות צרמלו-פרנקל עם אקסיומת הבחירה).

לכל מונה $\lambda$, אם מתקיים ${◊}_S$ לאיזושהי קבוצת שבת $S\subseteq {\lambda }^{+}$, אז $2^{\lambda }={\lambda }^{+}$. שהרן שלח הוכיח את הטענה ההפוכה: אם $2^{\lambda }={\lambda }^{+}$, אז ${◊}_S$ מתקיים לכל קבוצת שבת $S\subseteq \{x<\kappa :\mathrm{cof}(x)<\mathrm{cof}(\kappa )\}$, כאשר $\mathrm{cof}(x)$ היא הקופינליות של x. עקרון_היהלום25133393Q1734160