עקום המומנטים
במתמטיקה, עקום המומנטים הוא עקום אלגברי במרחב האוקלידי ה-$ n $-ממדי, המוגדר כאוסף הנקודות מהצורה $ (t,t^{2},\ldots ,t^{n}) $ לכל $ t $ ממשי.
למשל, במישור, עקום המומנטים הוא פרבולה.
כל על-מישור במרחב חותך את עקום המומנטים לכל היותר ב-$ n $ נקודות (למשל ישר במישור חותך פרבולה בשתי נקודות לכל היותר). תכונה זו שימושית במיוחד בגאומטריה דיסקרטית ובקומבינטוריקה טופולוגית. בענפים אלו משתמשים בעקום המומנטים כדי לקודד מידע גאומטרי-טופולוגי (חיתוך בין גופים מרחביים) ולתרגמו למידע קומבינטורי (מספר נקודות החיתוך).
תכונות
על-מישור במרחב ה-$ n $-ממדי מוגדר כקבוצה מהצורה
- $ H_{{\vec {a}},d}={\bigl \{}{\vec {x}}:({\vec {a}},{\vec {x}})=d{\bigr \}}={\Big \{}(x_{1},\ldots ,x_{n}):a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=d{\Big \}} $
כאשר $ {\vec {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{n}) $ וקטור כיוון ו-$ d $ סקלר קבועים.
אם $ t $ מספר ממשי כך שעקום המומנטים בנקודה $ t $ חותך את העל-מישור $ H_{{\vec {a}},d} $ אז מתקיים:
- $ a_{1}t+\cdots +a_{n}t^{n}=d $
זהו פולינום ממעלה $ n $ ולכן יש לו לכל היותר $ n $ פתרונות שונים. מכאן שעקום המומנטים חותך כל על-מישור לכל היותר ב-$ n $ נקודות.
אם החיתוך בין על-מישור לעקום המומנטים מכיל בדיוק $ n $ נקודות, אזי הפולינום המתאים ספרבילי (הנגזרת בחיתוך אינה מתאפסת) ועקום המומנטים חוצה בכל נקודת לצד השני של העל-מישור.
עקום המומנטים נותן חסם על מספר החלקים שניתן לחלק גוף $ n $-ממדי עם $ n $ על-מישורים. $ n $ על-מישורים חותכים את עקום המומנטים לכל היותר ב-$ n^{2} $ נקודות, ולכן מחלקים אותו לכל היותר $ n^{2}+1 $ חלקים.
בעיה ידועה שואלת האם ניתן לחלק כל גוף עם מסה (שלא בהכרח מפוזרת באופן אחיד בתוכו) במרחב ה-$ n $-ממדי ל-$ 2^{n} $ חלקים שווים במסתם באמצעות $ n $ על-מישורים. בישר ניתן לעשות זאת באמצעות משפט ערך הביניים. במישור ניתן באמצעות כלל הסנדוויץ'. ידוע שהדבר אפשרי במרחב התלת-ממדי והשאלה האם זה אפשרי במרחב הארבע-ממדי עודנה פתוחה. לכל $ n\geq 5 $ הדבר בלתי-אפשרי, כי $ n^{2}+1<2^{n} $ ולכן כלל לא ניתן לחלק את עקום המומנטים למספיק חלקים.