עקום המומנטים

במתמטיקה, עקום המומנטים הוא עקום אלגברי במרחב האוקלידי ה-n-ממדי המוגדר כאוסף הנקודות מהצורה $(t, t^{2}, \dots, t^{n})$ לכל $t$ ממשי. למשל, במישור, עקום המומנטים הוא פרבולה.

כל על-מישור במרחב חותך את עקום המומנטים בלכל היותר n נקודות (למשל ישר במישור חותך פרבולה בשתי נקודות לכל היותר). תכונה זו שימושית במיוחד בגאומטריה דיסקרטית ובקומבינטוריקה טופולוגית. בענפים אלו משתמשים בעקום המומנטים כדי לקודד מידע גאומטרי-טופולוגי (חיתוך בין גופים מרחביים) ולתרגמו למידע קומבינטורי (מספר נקודות החיתוך).

תכונות

על-מישור במרחב ה-n-ממדי מוגדר כקבוצה מהצורה $H_{𝐚, d} = {𝐱 : (𝐚, 𝐱) = d} = {(x_{1} \dots, x_{n}) : a_{1} x_{1} + \dots a_{n} x_{n} = d}$ , כאשר $𝐚 = (a_{1}, \dots, a_{n})$ וקטור כיוון ו-d סקלר קבועים. אם $t$ מספר ממשי כך שעקום המומנטים בנקודה t חותך את העל-מישור $H_{𝐚, d}$ אז מתקיים: $a_{1} t + \dots + a_{n} t^{n} = d$ . זוהי משוואה פולינומית ממעלה n ולכן יש לה לכל היותר n פתרונות שונים. מכאן שעקום המומנטים חותך כל על-מישור בלכל היותר n נקודות.

אם החיתוך בין על-מישור לעקום המומנטים מכיל בדיוק n נקודות, אזי הפולינום המתאים ספרבילי (הנגזרת בחיתוך אינה מתאפסת) ועקום המומנטים חוצה בכל נקודת לצד השני של העל-מישור.

עקום המומנטים נותן חסם על מספר החלקים שאפשר לחלק גוף n-ממדי עם n על-מישורים. n על-מישורים חותכים את עקום המומנטים בלכל היותר $n^{2}$ נקודות, ולכן מחלקים אותו ללכל היותר $n^{2} + 1$ חלקים. בעיה ידועה שואלת האם ניתן לחלק כל גוף עם מסה (שלא בהכרח מפוזרת באופן אחיד בתוכו) במרחב ה-n-ממדי ל- $2^{n}$ חלקים שווים במסתם באמצעות n על-מישורים. בישר ניתן לעשות זאת באמצעות משפט ערך הביניים. במישור ניתן באמצעות משפט הסנדוויץ'. ידוע שהדבר אפשרי במרחב התלת-ממדי והשאלה האם זה אפשרי במרחב הארבע ממדי עודנה פתוחה. לכל $5 \leq n$ הדבר לא אפשרי, כי $n^{2} + 1 < 2^{n}$ ולכן כלל לא ניתן לחלק את עקום המומנטים למספיק חלקים.