ספרואיד

ספרואיד אובלי	ספרואיד מוארך

ספרואיד (מכונה לעיתים אליפסואיד ייחוס) הוא משטח סיבוב הנוצר מסיבוב אליפסה סביב אחד מציריה. זהו גם אליפסואיד בעל שני צירים שווים. כאשר ציר הסיבוב הוא הציר הראשי של האליפסה מתקבל ספרואיד מוארך, צורה של כדור פוטבול. אם ציר הסיבוב הוא הציר המשני מתקבל ספרואיד אובלי או ספרואיד פחוס. זוהי, בקירוב, צורתו של כדור הארץ. אם שני הצירים זהים, האליפסה היא מעגל ולכן הצורה שתתקבל היא ספירה.

המשוואה הכללית שמתארת ספרואיד שמרכזו בראשית וציר הסימטריה שלו הוא ציר ה-z במערכת צירים קרטזית היא:
${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

זוהי משוואת אליפסואיד כאשר a=b.

פרמטרים

שני הפרמטרים שמתארים ספרואיד הם a ו-c כאשר a הוא חצי-ציר ראשי ו-c הוא חצי-ציר משני. קיימת צורה אחרת לתיאור ספרואיד שהיא הדרך הרווחת בכל המדעים מלבד המתמטיקה. שני הפרמטרים הם a ו-f כאשר a הוא חצי-ציר ראשי ו-f הוא מקדם הפחיסות: $\ f=\left({\frac {a-c}{a}}\right)$.

ככל שמקדם הפחיסות קרוב יותר ל-0, הספרואיד קרוב יותר לכדור.

שטח פנים

שטח הפנים של ספרואיד פחוס (c < a):

$S_{\rm {oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-f^{2}}{f}}\tanh ^{-1}f\right)$ כאשר $f$ הוא מקדם הפחיסות.

שטח הפנים של ספרואיד מוארך (c > a):

$S_{\rm {prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\sin ^{-1}e\right)$ כאשר $e^{2}=1/f^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}$

נפח

נפח של ספרואיד מכל סוג הוא $(4\pi /3)a^{2}c\approx 4.19\,a^{2}c$. אם נשנה את המשתנים כך ש-A=2a הוא אורך הציר הראשי ו-C=2c הוא אורך הציר המשני, נקבל שהנפח יהיה $(\pi /6)A^{2}C\approx 0.523\,A^{2}C$.

גאודזיה

הדאטום הנפוצים היום מניחים כי צורת כדור הארץ מקורבת לספרואיד (נוצר בגלל כוח המשיכה והסיבוב סביב עצמו). למשל ב-WGS84 מניחים שמדובר בספרואיד כאשר חצי-ציר ראשי (קו המשווה) הוא באורך 6,378.137 ק"מ וחצי-ציר משני (המרחק בין הקטבים) הוא 6,356.752 ק"מ. ההופכי של מקדם הפחיסות הוא ‎1/f = 298.257223563.

קישורים חיצוניים

• מידע על ספרואיד מאתר mathworld