סדרת סילבסטר

סדרת סילבסטר היא סדרה של מספרים טבעיים, המוגדרת לפי נוסחת הנסיגה $s_{i} = s_{i - 1} (s_{i - 1} - 1) + 1$ , כאשר $s_{1} = 2$ . הסדרה נקראת על שמו של המתמטיקאי היהודי בריטי ג'יימס ג'וזף סילבסטר.

בסדרה זו מתקיים שכל איבר שווה למכפלה של קודמיו בסדרה בתוספת 1, לפי היחס $s_{n} = 1 + \prod_{i = 1}^{n - 1} s_{i}$ , וכך אפשר לראות שכל שני מספרים בה זרים זה לזה. תכונה זו מספקת הוכחה מיידית למשפט של אוקלידס שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים: לכל איבר בסדרה יש מחלק ראשוני, ואלו חייבים להיות שונים זה מזה.

חשיבותה העיקרית של סדרת סילבסטר בכך שמבין כל הפתרונות למשוואה הדיופנטית $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \dots + \frac{1}{x_{n}} = 1$ בנעלמים $0 < x_{1} \leq x_{2} \leq \dots \leq x_{n}$ , עבור $n$ טבעי כלשהו, הפתרון שבו $x_{n}$ הוא הגדול ביותר מתקבל מ- $n$ איברי סדרת סילבסטר הראשונים, לפי הנוסחה $\frac{1}{s_{1}} + \dots + \frac{1}{s_{n - 1}} + \frac{1}{s_{n} - 1} = 1$ . בפרט, למשוואה זו יש מספר סופי של פתרונות.