סדרת לוקאס

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, סדרת לוקאס היא סדרה של מספרים שלמים שאיבריה מקיימים נוסחת נסיגה מהצורה  an+2=Pan+1Qan, כאשר  P ו- Q קבועים. דוגמאות מוכרות לסדרות לוקאס הן סדרת פיבונאצ'י, מספרי מרסן, מספרי לוקאס וסדרת פל. הסדרות נקראות על שם אדוארד לוקאס, דוגמה: 1,3,4,7,11,18,29......

הגדרה פורמלית

לאחר בחירת הקבועים P,Q, סדרת לוקאס מוגדרת באמצעות נוסחת הנסיגה  Ln=PLn1QLn2, ותנאי ההתחלה הקובעים את  L0,L1. בפרט, סדרות לוקאס עם תנאי ההתחלה  U0(P,Q)=0,U1(P,Q)=1 (ונוסחת הנסיגה  Un=PUn1(P,Q)QUn2(P,Q)) נקראת סדרת לוקאס מהסוג הראשון, וסדרת לוקאס עם תנאי ההתחלה  V0(P,Q)=2,V1(P,Q)=P (ונוסחת הנסיגה  Vn=PVn1(P,Q)QVn2(P,Q)) נקראת סדרת לוקאס מהסוג השני.

למשל,  Un(1,1) היא סדרת פיבונאצ'י,  Vn(1,1) הם מספרי לוקאס,  Un(2,1) היא סדרת פל,  Vn(2,1) היא סדרת פל-לוקאס,  Un(3,2) הם מספרי מרסן ו-Un(6,8)=2n1(2n1) היא סדרה בה נמצאים כל המספרים המשוכללים הזוגיים.

נוסחה מפורשת

את נוסחת הנסיגה של סדרת לוקאס אפשר לכתוב בעזרת מטריצות: (LnLn1)=(PQ10)(Ln1Ln2). לכסון המטריצה מאפשר להגיע במהירות לנוסחה מפורשת של האיבר הכללי, התלויה בערכי ההתחלה. המשוואה האופיינית של סדרת לוקאס היא x2Px+Q=0. נסמן את הדיסקרימיננטה  D=P24Q, לפי נוסחת השורשים פתרון המשוואה הוא:

a=P+D2andb=PD2

ולכן אם שני השורשים שונים אז

Un=anbnab=anbnD ו-
Vn=an+bn

ואם שני השורשים זהים, Un=nSn1 ו- Vn=2Sn כאשר מתקיים ש- S=Q=P2.

זהויות

סדרות לוקאס משני הסוגים עם אותם פרמטרים קשורות ביניהן בכמה זהויות בסיסיות. להלן טבלת זהויות עם המקרה הפרטי של סדרת פיבונאצ'י ומספרי לוקאס כדוגמה.

Fn=Un(1,1), Ln=Vn(1,1).

זהות כללית מקרה פרטי
(P24Q)Un=Vn+1QVn1=2Vn+1PVn 5Fn=Ln+1+Ln1=2Ln+1Ln
Vn=Un+1QUn1=2Un+1PUn Ln=Fn+1+Fn1=2Fn+1Fn
U2n=UnVn F2n=FnLn
V2n=Vn22Qn L2n=Ln22(1)n
Un+m=UnUm+1QUmUn1=UnVm+UmVn2 Fn+m=FnFm+1+FmFn1=FnLm+FmLn2
Vn+m=VnVmQmVnm Ln+m=LnLm(1)mLnm

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

סדרת לוקאס34015990Q1759646