נוסחת שרמן-מוריסון
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש
באלגברה ליניארית, הנוסחה של שרמן-מוריסון נקראת על שם ג'ק שרמן וויניפרד ג'יי מוריסון. הנוסחה מחשבת היפוך מטריצה "בעדכון מדרגה 1" למטריצה שההיפוך שלה חושב בעבר.[1][2][3] כלומר, בהינתן מטריצה הפיכה $ A $ והמכפלה החיצונית $ uv^{\textsf {T}} $ של וקטורים $ u $ ו $ v, $ הנוסחה מחשבת $ {\textstyle \left(A+uv^{\textsf {T}}\right){\vphantom {)}}^{\!-1}.} $.
הנוסחה של שרמן-מוריסון היא מקרה מיוחד של הנוסחה של וודברי .
הנוסחה
נניח מטריצה ריבועית הפיכה $ A\in \mathbb {R} ^{n\times n} $ ו- $ u,v\in \mathbb {R} ^{n} $ הם וקטורי עמודות . אז מטריצה $ A+uv^{\textsf {T}} $ הפיכה אם ורק אם $ 1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u\neq 0 $ . במקרה זה,
- $ \left(A+uv^{\textsf {T}}\right)^{-1}=A^{-1}-{A^{-1}uv^{\textsf {T}}A^{-1} \over 1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u}. $
כאשר, $ uv^{\textsf {T}} $ הוא המכפלה החיצונית של שני וקטורי עמודה $ u $ ו $ v $ .
ראו גם
קישורים חיצוניים
- נוסחת שרמן-מוריסון, באתר MathWorld (באנגלית)
הערות שוליים
- ↑ Sherman, Jack; Morrison, Winifred J. (1949). "Adjustment of an Inverse Matrix Corresponding to Changes in the Elements of a Given Column or a Given Row of the Original Matrix (abstract)". Annals of Mathematical Statistics. 20: 621. doi:10.1214/aoms/1177729959.
- ↑ Sherman, Jack; Morrison, Winifred J. (1950). "Adjustment of an Inverse Matrix Corresponding to a Change in One Element of a Given Matrix". Annals of Mathematical Statistics. 21 (1): 124–127. doi:10.1214/aoms/1177729893. MR 0035118. Zbl 0037.00901.
- ↑ Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), "Section 2.7.1 Sherman–Morrison Formula", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, אורכב מ-המקור ב-2012-03-19, נבדק ב-2011-08-08
נוסחת שרמן-מוריסון40639551Q2278354