משפט שימור האינטגרל

בחשבון דיפרינציאלי ואינטגרלי, משפט שימור האינטגרל (או בשמו המלא המשפט היסודי של תורת שימור האינטגרלים והדיפרנציאלים), הוא אחת משלוש האקסיומות לתורת השימור האינטגרלית.^[1]

הגדרה פורמלית

יהי מרחב אינטגרלי לא מסוים $\xi$ בעל בסיס אינטגרלי אורטונורמלי $S=[s_{n}]|_{1}^{n}$ , ואינטגרל לא מסוים $I\in \xi$ . נסמן את המקדמים של $I$ מעל הבסיס להיות $[i_{n}]|_{1}^{n}$ , כלומר $I=([i_{n}]|_{1}^{n})^{*}S$ . אזי לכל בסיס אורטורנורמלי ל $\xi$ : $S'\neq S$ ,קיימים מקדמים $[i'_{n}]|_{1}^{n}$ , כך ש $I=([i_{n}]|_{1}^{n})^{*}S=([i'_{n}]|_{1}^{n})^{*}S'$ , וגם $\forall _{k\in {1,...,n}}\exists _{j\in {1,...,n}|j\neq k}:\lVert i_{k}\rVert =\lVert i'_{j}\rVert$ תחת הנורמה של המרחב $\xi$ .

ביריעות חלקות

ביריעות חלקות, כמות סימני האינטגרל, ועוד כמות עיגולי המסלולים הסגורים, פחות כמות הדיפרנציאלים קבועה לכל הצגה שקולה של האינטגרל, ושווה לממד המרחב האינטגרלי.

נהוג לסמן זאת בצורה הבאה:

$|\int |+|O|-|d|=|\xi |=constant$

כאשר הקבוע הוא ממד המרחב האינטגרלי (לא הווקטורי), ה"עיגול" מסמן אם המסלול (במקרה של מרחב מממד 3 או פחות) הוא סגור או לא.

המרחב נקרא מרחב מסדר 0 או מרחב הומוגני כאשר $|\xi |=0$ .

דוגמאות

משפט סטוקס

על פי סטוקס: בהינתן יריעה דיפרנציאלית קומפקטית אוריינטבילית $M$ , ותבנית דיפרנציאלית $\omega$ מעל $M$ מתקיים: $\int _{M}\,\mathrm {d} \omega =\int _{\partial M}\omega \!\,$ . האינטגרל הוא כללי ולפיכך לא מחושב, ולכן משפט שימור האינטגרל תקף. כיוון ש $M$ הינה יריעה חלקה, מתקיים לכל הצגה שקולה:

$|\int |-|d|=constant$

ובמקרה זה:

$1-1=1-1=0$

בגלל שערך הקבוע הינו 0, אז האינטגרל במשפט סטוקס נקרא הומוגני, גם במקרה הפרטי שבו האינטגרל הוא על פונקציות מעל $\mathbb {R} ^{3}$ .

משפט גאוס (משפט הדיברגנץ)

על פי גאוס: יהי $V$ תחום חלק סגור מעל $R^{3}$ , ויהי ${\vec {F}}$ שדה וקטורי גזיר בסביבת $V$ , אזי:

$\iiint _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset \mathbf {F} \cdot d\mathbf {S}$