משפט ניקומאכוס הוא משפט בתורת המספרים הקובע כי הזהות הבאה מתקיימת לכל מספר טבעי n:
1
3
+
⋯
+
n
3
=
(
1
+
⋯
+
n
)
2
{\displaystyle 1^{3}+\cdots +n^{3}=(1+\cdots +n)^{2}}
כלומר שסכום
n
{\displaystyle n}
ריבוע סכום
n
{\displaystyle n}
מתמטיקאי היווני בן המאה ה-1 , ניקומאכוס , שכתב אודותיו.
היסטוריה הזהות של ניקומאכוס התגלתה באופן בלתי תלוי פעמים רבות במהלך ההיסטוריה. בין השאר גילו אותה ההודי אריאבהטה (המאה ה-5 ), הפרסי אל-קאראג'י (המאה ה-10 ), היהודי הצרפתי רלב"ג (המאה ה-14 ) וההודי נילקנטה סומיאג'י (המאה ה-15 ).
תיאור המשפט מבחינה פורמלית משפט ניקומאכוס קובע שלכל
n
{\displaystyle n}
∑
k
=
1
n
k
3
=
(
∑
k
=
1
n
k
)
2
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}}
סכום המספרים הטבעיים מ-1 עד
n
{\displaystyle n}
המספר המשולשי ה-
n
{\displaystyle n}
שנוסחתו המפורשת
T
n
=
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}
הוכחות למשפט ניקומאכוס הוכחות רבות. קודם להצגתן נציין שלוש זהויות שישמשו לשם קיצור ואסתטיות. את שלוש הזהויות ניתן להוכיח בפשטות בדרך אלגברית מתוך הנוסחה המפורשת למספר משולשי. עם זאת, לכולן ישנן גם הוכחות גאומטריות וקומבינטוריות .
T
n
−
T
n
−
1
=
n
{\displaystyle T_{n}-T_{n-1}=n}
T
n
+
T
n
−
1
=
n
2
{\displaystyle T_{n}+T_{n-1}=n^{2}}
הוכחה גאומטרית )
T
n
=
(
n
+
1
2
)
{\displaystyle T_{n}={\binom {n+1}{2}}}
הוכחה קומבינטורית ; לפשר הסימון ראו מקדם בינומי )כמו כן נניח כי
T
0
=
0
{\displaystyle T_{0}=0}
הוכחה באינדוקציה ההוכחה הסטנדרטית למשפט היא באינדוקציה. בסיס האינדוקציה טריוויאלי,
1
3
=
1
2
{\displaystyle 1^{3}=1^{2}}
T
n
−
1
2
=
1
3
+
2
3
+
…
+
(
n
−
1
)
3
{\displaystyle T_{n-1}^{2}=1^{3}+2^{3}+\ldots +(n-1)^{3}}
T
n
2
=
1
3
+
2
3
+
…
+
n
3
{\displaystyle T_{n}^{2}=1^{3}+2^{3}+\ldots +n^{3}}
T
n
2
=
(
T
n
−
1
+
n
)
2
=
T
n
−
1
2
+
2
n
T
n
−
1
+
n
2
=
{\displaystyle T_{n}^{2}=(T_{n-1}+n)^{2}=T_{n-1}^{2}+2nT_{n-1}+n^{2}=}
נציב את הנחת האינדוקציה ואת הנוסחה למספר משולשי ונקבל:
=
(
1
3
+
2
3
+
…
+
(
n
−
1
)
3
)
+
(
n
2
(
n
−
1
)
+
n
2
)
=
1
3
+
2
3
+
…
+
n
3
{\displaystyle =(1^{3}+2^{3}+\ldots +(n-1)^{3})+(n^{2}(n-1)+n^{2})=1^{3}+2^{3}+\ldots +n^{3}}
כנדרש.
הוכחה באמצעות טור טלסקופי נבחין בזהות הבאה הנובעת מזהויות (1) ו-(2):
T
k
2
−
T
k
−
1
2
=
(
T
k
+
T
k
−
1
)
(
T
k
−
T
k
−
1
)
=
k
2
⋅
k
=
k
3
{\displaystyle T_{k}^{2}-T_{k-1}^{2}=(T_{k}+T_{k-1})(T_{k}-T_{k-1})=k^{2}\cdot k=k^{3}}
כעת נוכל להציג את הסכום המבוקש כטור טלסקופי :
∑
k
=
1
n
k
3
=
∑
k
=
1
n
(
T
k
2
−
T
k
−
1
2
)
=
T
n
2
−
T
n
−
1
2
+
T
n
−
1
2
−
T
n
−
2
2
+
…
−
T
0
2
=
T
n
2
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{k^{3}}=\sum _{k=1}^{n}{(T_{k}^{2}-T_{k-1}^{2})}=T_{n}^{2}-T_{n-1}^{2}+T_{n-1}^{2}-T_{n-2}^{2}+\ldots -T_{0}^{2}=T_{n}^{2}}
הוכחה קומבינטורית נגדיר קבוצה
A
{\displaystyle A}
רביעיות סדורות של מספרים בין 0 ל-n (כולל), כך שהאיבר הרביעי בכל רביעייה גדול ממש משלושת האיברים האחרים. בסימונים:
A
=
{
(
h
,
i
,
j
,
k
)
|
0
≤
h
,
i
,
j
<
k
≤
n
}
{\displaystyle A=\{(h,i,j,k)|0\leq h,i,j<k\leq n\}}
k
3
{\displaystyle k^{3}}
|
A
|
=
∑
k
=
1
n
k
3
{\displaystyle \ |A|=\sum _{k=1}^{n}{k^{3}}}
נגדיר עתה קבוצה
B
{\displaystyle B}
זוגות סדורים של תת-קבוצות בנות שני איברים של קבוצת המספרים מ-0 עד n. כל תת-קבוצה כזו ניתן לאפיין למעשה כזוג סדור עם המגבלה שהאיברים בזוג שונים והגדול יותר נמצא בימין. כלומר:
B
=
{
(
(
w
,
x
)
,
(
y
,
z
)
)
|
0
≤
w
<
x
≤
n
,
0
≤
y
<
z
≤
n
}
{\displaystyle \ B=\{((w,x),(y,z))|0\leq w<x\leq n,0\leq y<z\leq n\}}
B מורכבת מזוגות של תת-קבוצות עם שני איברים הנבחרים בחופשיות, ולכן מהגדרת המקדם בינומי ומזהות (3) נובע:
|
B
|
=
(
n
+
1
2
)
2
=
T
n
2
{\displaystyle \ |B|={\binom {n+1}{2}}^{2}=T_{n}^{2}}
כעת נציג התאמה חד-חד-ערכית ועל מ-A ל-B:
f
(
h
,
i
,
j
,
k
)
=
{
(
(
h
,
i
)
,
(
j
,
k
)
)
if
h
<
i
;
(
(
j
,
k
)
,
(
i
,
h
)
)
if
h
>
i
;
(
(
i
,
k
)
,
(
j
,
k
)
)
if
h
=
i
{\displaystyle f(h,i,j,k)={\begin{cases}((h,i),(j,k))&{\mbox{if }}h<i;\\((j,k),(i,h))&{\mbox{if }}h>i;\\((i,k),(j,k))&{\mbox{if }}h=i\end{cases}}}
הפונקציה בוודאי חד-חד-ערכית, והיא על כי לכל זוג סודר חוקי ניתן לבנות רבייעיה מתאימה.
ההתאמה מעידה כי שתי הקבוצות שוות בגודלן, כלומר:
∑
k
=
1
n
k
3
=
|
A
|
=
|
B
|
=
T
n
2
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{k^{3}}=|A|=|B|=T_{n}^{2}}
הוכחה גאומטרית בספר "Proofs Without Words " (מסת"ב 978-0-88385-700-7
13 +23 +33 +43 +53 +63 = (1+2+3+4+5+6)2 בכל צבע צבועים
k
{\displaystyle k}
ריבועים עם צלע באורך
k
{\displaystyle k}
k
3
{\displaystyle k^{3}}
1
≤
k
≤
n
{\displaystyle 1\leq k\leq n}
T
n
{\displaystyle T_{n}}
T
n
2
{\displaystyle T_{n}^{2}}
הוכחה נוספת ראשית נבחין בכך ש-
k
3
{\displaystyle k^{3}}
k
{\displaystyle k}
ממוצע החשבוני שלהם הוא
k
2
{\displaystyle k^{2}}
∑
i
=
T
k
−
1
+
1
T
k
2
i
−
1
=
k
3
{\displaystyle \sum _{i=T_{k-1}+1}^{T_{k}}{2i-1}=k^{3}}
[1]
כעת נבחן את סכום האי-זוגיים מ-1 עד
2
T
n
−
1
{\displaystyle 2T_{n}-1}
∑
i
=
1
T
n
2
i
−
1
=
∑
k
=
1
n
∑
i
=
T
k
−
1
+
1
T
k
2
i
−
1
=
∑
k
=
1
n
k
3
{\displaystyle \sum _{i=1}^{T_{n}}{2i-1}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{i=T_{k-1}+1}^{T_{k}}{2i-1}=\sum _{k=1}^{n}{k^{3}}}
למשל סכום האי זוגיים מ-1 עד 19 הוא:
1
+
(
3
+
5
)
+
(
7
+
9
+
11
)
+
(
13
+
15
+
17
+
19
)
=
1
+
8
+
27
+
64
=
1
3
+
2
3
+
3
3
+
4
3
{\displaystyle 1+(3+5)+(7+9+11)+(13+15+17+19)=1+8+27+64=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}}
מצד שני את סכום האי-זוגיים מ-1 עד
2
T
n
−
1
{\displaystyle 2T_{n}-1}
טור חשבוני (או באמצעות טיעון גאומטרי ) ולקבל שהוא שווה ל-
T
n
2
{\displaystyle T_{n}^{2}}
הכללות יאקוב ברנולי מצא נוסחה כללית לחישוב סכום חזקות כלשהן של n המספרים הראשונים:
∑
k
=
1
n
k
m
=
1
m
+
1
∑
i
=
0
m
(
−
1
)
i
(
m
+
1
i
)
B
i
n
m
+
1
−
i
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}={\frac {1}{m+1}}\sum _{i=0}^{m}(-1)^{i}{\binom {m+1}{i}}B_{i}n^{m+1-i}}
כאשר
B
i
{\displaystyle B_{i}}
מספר ברנולי ה-i.
כאשר m אי-זוגי, הסכום הוא תמיד פולינום , ללא מקדם חופשי, ב-
T
n
{\displaystyle T_{n}}
קישורים חיצוניים הערות שוליים
^ בסכום יש
T
k
−
T
k
−
1
=
k
{\displaystyle T_{k}-T_{k-1}=k}
(
2
(
T
k
−
1
+
1
)
−
1
)
+
(
2
T
k
−
1
)
2
=
T
k
−
1
+
T
k
=
k
2
{\displaystyle {\frac {(2(T_{k-1}+1)-1)+(2T_{k}-1)}{2}}=T_{k-1}+T_{k}=k^{2}}
