משפט מינקובסקי

משפט מינקובסקי הוא תוצאה בסיסית בתחום המכונה 'גאומטריה של מספרים', השייך לתורת המספרים. את המשפט הוכיח הרמן מינקובסקי ב- 1889.

נניח ש- L הוא סריג במרחב $\ \mathbb {R} ^{n}$ . נסמן את הנפח של המקבילון היסודי שלו ב- C. (הדוגמה הפשוטה ביותר היא הסריג $\ \mathbb {Z} ^{n}$ הכולל את הנקודות שכל הרכיבים שלהן שלמים. המקבילון היסודי במקרה זה הוא קוביית היחידה, והנפח שלו הוא C=1). המשפט עוסק בקבוצות סימטריות ביחס לראשית (כלומר, קבוצות הכוללות יחד עם כל נקודה x גם את הנקודה הנגדית $\ -x$ ), וקובע שקבוצה סימטרית קמורה, שהנפח שלה עולה על $\ 2^{n}C$ , מוכרחה להכיל לפחות נקודה אחת של L פרט לאפס (אם ידוע שהקבוצה קומפקטית, הטענה נכונה גם אם הנפח שווה לחסם, ולא רק גדול ממנו).

ממשפט זה נובע שכל מחלקה של אידיאלים שבריים בחוג השלמים $\ {\mathcal {O}}_{K}$ של שדה מספרים K מכילה אידיאל $\ I$ , עם נורמה $\ N(I)\leq {\frac {n!}{n^{n}}}\left({\frac {4}{\pi }}\right)^{s}\cdot {\sqrt {|D|}}$ (הנורמה של $\ I$ שווה לגודל חוג המנה $\ {\mathcal {O}}_{K}/I$ ). כאן n הוא הממד של K מעל שדה המספרים הרציונליים, 2s הוא מספר השיכונים המרוכבים של K, ו- D היא הדיסקרימיננטה של ההרחבה. לחסם זה יש תוצאות מרחיקות לכת, שהחשובה ביניהן היא העובדה שכל הרחבה של שדה המספרים הרציונליים מסועפת לפחות מעל ראשוני אחד.