משפט לוזין

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

משפט לוזין מבטא עיקרון יסודי באנליזה פונקציונלית, לפיו כל פונקציה מדידה לבג, במונחי תורת המידה היא כמעט פונקציה רציפה. כלומר כל פונקציה מדידה קרובה להיות פונקציה רציפה במובן של קירוב שיתואר בהמשך.

את המשפט הוכיח המתמטיקאי הרוסי ניקולאי לוזין בשנת 1912.

נוסח פורמלי

תהי $f:[0,1]\to \mathbb {C}$ פונקציה מדידה-לבג. אזי לכל $\epsilon >0$ קיימת קבוצה סגורה $K\subset [0,1]$ המקיימת הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \lambda \left([0,1]\setminus K\right)<\epsilon } (כאשר $\lambda$ היא מידת לבג), כך שעל $K$ הפונקציה $f$ שווה כמעט תמיד לפונקציה רציפה.

הערה: ניתן להשתמש במשפט ההרחבה של טיצה כדי להרחיב את הפונקציה $f\mid _{K}$ להיות פונקציה רציפה המוגדרת על כל $[0,1]$.

הוכחה

נגדיר $F_{n}=\left\{x\in [a,b]\mid \mid f(x)\mid >n\right\}$. בוודאי מתקיים הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }F_{n}=\emptyset } , ומהיות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0,1]} בעל מידת לבג סופית נובע כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n \to \infty} \lambda(F_n) = \lambda \left(\bigcap_{n=1}^{\infty} F_n \right) = 0} .

נקבע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} שעבורו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda (F_N) < \epsilon} , כלומר לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in F_N^\complement} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mid f(x) \mid < N} . כל פונקציה מדידה וחסומה על קטע סופי היא אינטגרבילית לבג, ולכן $h:=f\mid _{F_{N}^{\complement }}\in L^{1}$.

מרחב הפונקציות הרציפות צפוף ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^1} , ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} היא גבול של פונקציות רציפות בנורמת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^1} . ידוע שלכל סדרה המתכנסת ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^1} קיימת תת-סדרה המתכנסת כמעט תמיד, לכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} היא גבול כמעט תמיד של פונקציות רציפות.

ממשפט אגורוף יש קבוצה מדידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E \subset [0,1]} המקיימת $\lambda (E)<\epsilon /2$, כך שעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E^\complement} ההתכנסות כמעט תמיד ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} היא התכנסות במידה שווה. מרגולריות מידת לבג יש קבוצה קומפקטית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K \subset E} המקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda (E \setminus K) < \epsilon/2} . גבול במידה שווה של פונקציות רציפות על קבוצה קומפקטית הוא פונקציה רציפה, ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\mid_K = h\mid_K} רציפה. זו הקבוצה המבוקשת, כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda \left( [0,1] \setminus K \right) = \lambda \left( E^\complement \right) + \lambda \left( E \setminus K \right) < \epsilon/2+\epsilon/2 = \epsilon} .

הכללה

קיימת גרסה כללית יותר למשפט: יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X,\mathcal{M},\mu)} מרחב מידה כאשר $\mu$ היא מידת רדון. יהי גם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} מרחב טופולוגי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה, היוצר מרחב מדיד עם סיגמא אלגברת בורל שלו, ותהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:X \to Y} .

לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon > 0} , לכל קבוצה מדידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \in \mathcal{M}} בעלת מידה סופית קיימת קבוצה מדידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E \in \mathcal{M}} המוכלת ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} , כך שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu(A \setminus E) < \epsilon} , כך שעל הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} הפונקציה $f$ רציפה.

בנוסף, אם הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} קומפקטית מקומית, אז ניתן לבחור את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} הנ"ל שתהיה קומפקטית, ובמקרה זה קיימת פונקציה רציפה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} בעלת תומך קומפקטי המקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\mid_E = g\mid_E} .

לקריאה נוספת

• N. Lusin. Sur les propriétés des fonctions mesurables, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 154 (1912), 1688–1690.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

22708521משפט לוזין