משפט ההפרדה הבסיסי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
המחשה דו־ממדית של המשפט. קבוצה קמורה Ω (בירוק), נקודה y שלא נמצאת בקבוצה והיפר-מישור (,a)=α המפריד בין הקבוצה והנקודה.

בגאומטריה, משפט ההפרדה הבסיסי עוסק בקשר בין קבוצות קמורות ונקודות שנמצאות מחוץ לקבוצה.

המשפט טוען שבהינתן נקודה שלא נמצאת בקבוצה הקמורה תמיד ניתן יהיה למצוא היפר-מישור שיפריד את הקבוצה מהנקודה.

ניסוח פורמלי

תהי Ω קבוצה קמורה וסגורה במרחב האוקלידי n ויהי yn המקיים yΩ אז קיים וקטור 0¯an ומספר α כך ש:

axα<ay

לכל xΩ.

הוכחה

נתון Ω קמורה וסגורה ולכן ממשפט הקירוב הטוב ביותר קיים z שהוא הווקטור הקרוב ביותר לy בΩ. מעובדה זו, נובע אי השוויון הבא[1]:

(yz)(xz)0

לכל xΩ.

נגדיר a=yz. ברור ש a0¯ ו- a(xz)0 לכל xΩ.

אם כך אז axaz לכל xΩ.

נגדיר α=az ונשים לב ש ayα=a(yz)=a2>0

כלומר axα<ay לכל xΩ ומכאן מ.ש.ל.

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. קיים משפט שטוען שאם Ω סגורה וקמורה אז: yzyx xΩ(yz)(xz)0 xΩכלומר אי השוויון הימני מתקיים אמ"ם z הוא הקירוב הטוב ביותר של y בΩ.
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט ההפרדה הבסיסי40805923