משפט ההיטל המרכזי

במתמטיקה, משפט ההיטל המרכזי (אנגלית: Projection-slice theorem, לעיתים Fourier slice theorem) אומר כי שני התהליכים הבאים, עבור פונקציה $f:{\mathbb{ℝ}}^2\to \mathbb{ℝ}$ וישר $a$ דרך הראשית, נותנים את אותה התוצאה:

• לקחת את התמרת פורייה הדו-ממדית של $f$ ולקחת את הערכים שלה על הישר $a$ .
• להטיל את $f$ על הישר $a$ ולהפעיל על ההיטל התמרת פוריה.

למשפט שימושים רבים בטומוגרפיה.

ניסוח פורמלי

נסמן $P_m$ את אופרטור ההיטל על תת-מרחב לינארי מממד $m$ (היטל במובן של אינטגרל על המשלים האורתוגונלי בכל נקודה)

נסמן $S_m$ את אופרטור החיתוך עם אותו תת-המרחב שעובר דרך הראשית, ונסמן $F_N,F_m$ את התמרת פורייה ב-$N,m$ ממדים בהתאמה.

אזי לכל פונקציה $f:{\mathbb{ℝ}}^N\to \mathbb{ℝ}$ מתקיים:

$F_m{P}_m=S_m{F}_n$

הוכחה למקרה הדו-ממדי

סיבוב פונקציה סביב הראשית הוא פעולה המתחלפת עם התמרת פוריה, ולכן ניתן להניח ללא הגבלת הכלליות כי ההיטל והחיתוך מתבצעים על ציר $x$ .

נסמן את $f(x,y):{\mathbb{ℝ}}^2\to \mathbb{ℝ}$ , ונסמן את ההיטל שלה על ציר $x$ להיות:

$p(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,y)dy$

והתמרת פורייה שלה להיות:

$\begin{array}{r}F(k_x,k_y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,y)e^{-2\pi (x{k}_x+y{k}_y)i}dxdy\end{array}$

אז החיתוך של התמרת הפורייה עם ציר $x$ הוא:

$\begin{array}{r}s(k_x)=F(k_x,0)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,y)e^{-2\pi x{k}_{x}i}dxdy=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,y)dy]e^{-2\pi x{k}_{x}i}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}p(x)e^{-2\pi x{k}_{x}i}dx\end{array}$

וזו בדיוק התמרת פורייה של $p(x)$ . משפט_ההיטל_המרכזי16551174Q7249438