משפט ההיטל המרכזי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, משפט ההיטל המרכזי (באנגלית המשפט נקרא לפעמים Fourier slice theorem) אומר ששני התהליכים הבאים, עבור פונקציה f:2 וישר a דרך הראשית, נותנים את אותה התוצאה:

  • לקחת את התמרת פורייה הדו-ממדית של f ולקחת את הערכים שלה על הישר a .
  • להטיל את f על הישר a ולהפעיל על ההיטל התמרת פוריה.

למשפט שימושים רבים בטומוגרפיה ובשיפור תמונות שמתקבלות במיקרוסקופ אלקטרונים חודר.

ניסוח פורמלי של המשפט

נסמן ב Pm את אופרטור ההיטל על תת מרחב ליניארי ממימד m (היטל במובן של אינטגרל על המשלים האורטוגונלי בכל נקודה)

נסמן ב Sm את אופרטור החיתוך עם אותו התת-מרחב שעובר דרך הראשית,

ונסמן בFN,Fm את התמרת פורייה ב N,m ממדים בהתאמה.

אז לכל פונקציה f:RNR מתקיים:

FmPm=SmFn

הוכחה למקרה הדו־ממדי

בגלל שסיבוב של פונקציה סביב הראשית זו פעולה שמתחלפת עם התמרת פוריה, ניתן להניח, בלי הגבלת הכלליות, שההיטל והחיתוך מתבצעים על ציר x.

נסמן את f(x,y):R2R, ונסמן את ההיטל שלה על ציר x להיות :

p(x)=f(x,y)dy.

והתמרת פורייה שלה להיות:

F(kx,ky)=f(x,y)e2πi(xkx+yky)dxdy.

אז החיתוך של התמרת הפורייה עם ציר הx הוא:

s(kx)=F(kx,0)=f(x,y)e2πixkxdxdy=[f(x,y)dy]e2πixkxdx=p(x)e2πixkxdx

שזה בדיוק התמרת פורייה של p(x).

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט ההיטל המרכזי36618975Q7249438