משפט ההיטל המרכזי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, משפט ההיטל המרכזי (אנגלית: Projection-slice theorem, לעיתים Fourier slice theorem) אומר כי שני התהליכים הבאים, עבור פונקציה f:2 וישר a דרך הראשית, נותנים את אותה התוצאה:

  • לקחת את התמרת פורייה הדו-ממדית של f ולקחת את הערכים שלה על הישר a .
  • להטיל את f על הישר a ולהפעיל על ההיטל התמרת פוריה.

למשפט שימושים רבים בטומוגרפיה.

ניסוח פורמלי

נסמן Pm את אופרטור ההיטל על תת-מרחב לינארי מממד m (היטל במובן של אינטגרל על המשלים האורתוגונלי בכל נקודה)

נסמן Sm את אופרטור החיתוך עם אותו תת-המרחב שעובר דרך הראשית, ונסמן FN,Fm את התמרת פורייה ב-N,m ממדים בהתאמה.

אזי לכל פונקציה f:N מתקיים:

FmPm=SmFn

הוכחה למקרה הדו-ממדי

סיבוב פונקציה סביב הראשית הוא פעולה המתחלפת עם התמרת פוריה, ולכן ניתן להניח ללא הגבלת הכלליות כי ההיטל והחיתוך מתבצעים על ציר x .

נסמן את f(x,y):2 , ונסמן את ההיטל שלה על ציר x להיות:

p(x)=f(x,y)dy

והתמרת פורייה שלה להיות:

F(kx,ky)=f(x,y)e2π(xkx+yky)idxdy

אז החיתוך של התמרת הפורייה עם ציר x הוא:

s(kx)=F(kx,0)=f(x,y)e2πxkxidxdy=[f(x,y)dy]e2πxkxidx=p(x)e2πxkxidx

וזו בדיוק התמרת פורייה של p(x) . משפט_ההיטל_המרכזי16551174Q7249438