משפט גליסון-כהנא-ז'לאזקו

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באנליזה פונקציולית הוא משפט המאפיין את הפונקציונלים הליניארים הכפליים מעל אלגברת בנך. המשפט נקרא ע"ש המתמטיקאים שהוכיחו אותו גליסון בשנת 1967 באופן בלתי תלוי בקיין וזלזקו שהוכיחו את המשפט ב 1968.

ניסוח המשפט

תהי 𝒜אלברת בנך ונסמן ב G(𝒜)את אוסף האיברים ההפיכים על 𝒜. נסמן ב e את איבר היחידה ב 𝒜. יהי F פונקציונל ליניארי (רציף) כפלי על 𝒜. בבירור צריך להתקיים ש F(e)=1 וכן ש F(x)0 לכל x ב G(𝒜). לפי המשפט זהו גם תנאי מספיק לכפליות ולרציפות F כלומר:

כל פונקציונל על 𝒜 המקיים ϕ(e)=1,ϕ(x)0xG(𝒜) הוא בהכרח רציף וכפלי.

הוכחה

לצורך ההוכחה נצטרך את הטענה הבסיסית הבאה לגבי אלגבראות בנך:

עובדה: יהי x𝒜כך ש x<1אז xe הפיך (רעיון ההוכחה: לא קשה להראות שסדרת הסכומים החלקיים של kxk היא סדרת קושי ומשלמות מתכנסת. הגבול הוא ההופכי).

למה: תהי f פונקציה שלמה המקיימת f(0)=1,f(0)=0,0<|f(λ)|e|λ| אז f1.

הוכחת הלמה: כיוון ש f לא מתאפסת אז יש לה לוגריתם אנליטי g. מהנתונים נקבל ש g(0)=g(0)=0 וכן (g(λ))|λ|. יהי r>0. נקבל מהאי שוויון הקודם שלכל |λ|r, |g(λ)||2rg(λ)|. נגדיר את הפונקציה הבאה:

hr(λ):=r2g(λ)λ2(2rg(λ)). אזי h אנליטית במעגל ברדיוס 2r. כמו כן אם |λ|=rאז נקבל ש|hr(λ)|1. כעת מעקרון המקסימום, |hr(λ)|1 לכל |λ|r. נשאיף rונקבל שבהכרח g=0.

הוכחת המשפט:

יהי N=ker(ϕ). יהו x,y𝒜ההנחה ש ϕ(e)=1גוררת שאפשר לרשום x=a+ϕ(x)e,y=b+ϕ(y)eכאשר a,bN. ϕ(xy)=ϕ(ab)+ϕ(x)ϕ(y)ולכן על מנת להראות את הכפליות יש להוכיח ש a,bNabN.נניח תחילה שהוכחנו מקרה פרטי, כלומר aNa2N. נקבל ש ϕ(x2)=ϕ(x)2. נציב x+y במקום x ונקבל ש ϕ(xy+yx)=2ϕ(x)ϕ(y). לכן xNxy+yxN. נתבונן בזהות הבאה: (xyyx)2+(xy+yx)2=2(x(yxy)+(yxy)x).

נניח ש xN. מהטענה הקודמת ומההנחה ש aNa2N נקבל שצד ימין וכן (xy+yx)2ב N. לכן (xyyx)2ב N וכיוון ש ϕ(x2)=ϕ(x)2נקבל ש xyyxב N. לכן xy,yx ב N ונקבל את הכפליות.

נוכיח כעת ש ϕרציף. מההנחה אין ב N איברים הפיכים ולכן מהעובדה למעלה, xe1xN. לכן לכל λ,xN xλe|λ|=|ϕ(xλe)| לכן נסיק ש ϕרציף ומנורמה 1.

נשאר להוכיח ש aNa2N. נקבע aN. ללא הגבלת הכלליות, a=1. נגדיר f(λ):=k=0ϕ(an)λnn!. כיוון ש |ϕ(an)|anan=1נקבל ש f שלמה ומקיימת |f(λ)|e|λ| בבירור f(0)=1,f(0)=ϕ(a)=0. נראה ש f לא מתאפסת: הסדרה E(λ):=k=0λnn!an מתכנסת בנורמה ומרציפות ϕ נקבל ש f(λ)=ϕ(E(λ)) הפונקציה E מקיימת משוואה פונקציונלית זהה לאקספוננט: E(λ1+λ2)=E(λ1)E(λ2)(אותה הוכחה). בפרט e=E(0)=E(λ)E(λ). לכן

לכל λ, E(λ)הפיך ולכן מהנתון f לא מתאפסת. מהלמה נקבל ש f1ובפרט ϕ(a2)=f(0)=0וקיבלנו את הדרוש.

ראו גם

לקריאה נוספת

  • רודין. וולטר, אנליזה פונקציונלית, 1973, Tata MacGraw-Hill.

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט גליסון-כהנא-ז'לאזקו32298986Q2226660