משפט גליסון-כהנא-ז'לאזקו

באנליזה פונקציולית הוא משפט המאפיין את הפונקציונלים הליניארים הכפליים מעל אלגברת בנך. המשפט נקרא ע"ש המתמטיקאים שהוכיחו אותו גליסון בשנת 1967 באופן בלתי תלוי בקיין וזלזקו שהוכיחו את המשפט ב 1968.

ניסוח המשפט

תהי ${𝒜}$אלברת בנך ונסמן ב $G({𝒜})$את אוסף האיברים ההפיכים על ${𝒜}$. נסמן ב e את איבר היחידה ב ${𝒜}$. יהי F פונקציונל ליניארי (רציף) כפלי על ${𝒜}$. בבירור צריך להתקיים ש $F(e)=1$ וכן ש $F(x)\ne 0$ לכל x ב $G({𝒜})$. לפי המשפט זהו גם תנאי מספיק לכפליות ולרציפות F כלומר:

כל פונקציונל על ${𝒜}$ המקיים $\varphi (e)=1,\varphi (x)\ne 0\mathrm{\forall }x\in G({𝒜})$ הוא בהכרח רציף וכפלי.

הוכחה

לצורך ההוכחה נצטרך את הטענה הבסיסית הבאה לגבי אלגבראות בנך:

עובדה: יהי $x\in {𝒜}$כך ש $\Vert x\Vert <1$אז $x-e$ הפיך (רעיון ההוכחה: לא קשה להראות שסדרת הסכומים החלקיים של $\sum _k{x}^k$ היא סדרת קושי ומשלמות מתכנסת. הגבול הוא ההופכי).

למה: תהי f פונקציה שלמה המקיימת $f(0)=1,f^{\prime }(0)=0,0<|f(\lambda )|\le e^{|\lambda |}$ אז $f\equiv 1$.

הוכחת הלמה: כיוון ש f לא מתאפסת אז יש לה לוגריתם אנליטי g. מהנתונים נקבל ש $g(0)=g^{\prime }(0)=0$ וכן $\mathrm{\Re }(g(\lambda ))\le |\lambda |$. יהי r>0. נקבל מהאי שוויון הקודם שלכל $|\lambda |\le r$, $|g(\lambda )|\le |2r-g(\lambda )|$. נגדיר את הפונקציה הבאה:

$h_r(\lambda ):=\frac{r^{2}g(\lambda )}{{\lambda }^2(2r-g(\lambda ))}$. אזי h אנליטית במעגל ברדיוס $2r$. כמו כן אם $|\lambda |=r$אז נקבל ש$|h_r(\lambda )|\le 1$. כעת מעקרון המקסימום, $|h_r(\lambda )|\le 1$ לכל $|\lambda |\le r$. נשאיף $r\to \mathrm{\infty }$ונקבל שבהכרח g=0.

הוכחת המשפט:

יהי $N=\ker (\varphi )$. יהו $x,y\in {𝒜}$ההנחה ש $\varphi (e)=1$גוררת שאפשר לרשום $x=a+\varphi (x)e,y=b+\varphi (y)e$כאשר $a,b\in N$. $\varphi (xy)=\varphi (ab)+\varphi (x)\varphi (y)$ולכן על מנת להראות את הכפליות יש להוכיח ש $a,b\in N\Rightarrow ab\in N$.נניח תחילה שהוכחנו מקרה פרטי, כלומר $a\in N\Rightarrow a^2\in N$. נקבל ש $\varphi (x^2)=\varphi (x{)}^2$. נציב x+y במקום x ונקבל ש $\varphi (xy+yx)=2\varphi (x)\varphi (y)$. לכן $x\in N\Rightarrow xy+yx\in N$. נתבונן בזהות הבאה: $(xy-yx{)}^2+(xy+yx{)}^2=2(x(yxy)+(yxy)x)$.

נניח ש $x\in N$. מהטענה הקודמת ומההנחה ש $a\in N\Rightarrow a^2\in N$ נקבל שצד ימין וכן $(xy+yx{)}^2$ב N. לכן $(xy-yx{)}^2$ב N וכיוון ש $\varphi (x^2)=\varphi (x{)}^2$נקבל ש $xy-yx$ב N. לכן xy,yx ב N ונקבל את הכפליות.

נוכיח כעת ש $\varphi$רציף. מההנחה אין ב N איברים הפיכים ולכן מהעובדה למעלה, $\Vert x-e\Vert \ge 1\mathrm{\forall }x\in N$. לכן לכל $\lambda \in \mathbb{ℂ},x\in N$ $\Vert x-\lambda e\Vert \ge |\lambda |=|\varphi (x-\lambda e)|$ לכן נסיק ש $\varphi$רציף ומנורמה 1.

נשאר להוכיח ש $a\in N\Rightarrow a^2\in N$. נקבע $a\in N$. ללא הגבלת הכלליות, $\Vert a\Vert =1$. נגדיר $f(\lambda ):=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\varphi (a^n){\lambda }^n}{n!}$. כיוון ש $|\varphi (a^n)|\le \Vert a^n\Vert \le \Vert a{\Vert }^n=1$נקבל ש f שלמה ומקיימת $|f(\lambda )|\le e^{|\lambda |}$ בבירור $f(0)=1,f^{\prime }(0)=\varphi (a)=0$. נראה ש f לא מתאפסת: הסדרה $E(\lambda ):=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^n}{n!}{a}^n$ מתכנסת בנורמה ומרציפות $\varphi$ נקבל ש $f(\lambda )=\varphi (E(\lambda ))$ הפונקציה E מקיימת משוואה פונקציונלית זהה לאקספוננט: $E({\lambda }_1+{\lambda }_2)=E({\lambda }_1)E({\lambda }_2)$(אותה הוכחה). בפרט $e=E(0)=E(\lambda )E(-\lambda )$. לכן

לכל $\lambda \in \mathbb{ℂ}$, $E(\lambda )$הפיך ולכן מהנתון f לא מתאפסת. מהלמה נקבל ש $f\equiv 1$ובפרט $\varphi (a^2)=f^{″}(0)=0$וקיבלנו את הדרוש.

ראו גם

• אלגברת בנך

לקריאה נוספת

• רודין. וולטר, אנליזה פונקציונלית, 1973, Tata MacGraw-Hill.

קישורים חיצוניים

• משפט גליסון-קיין-זלזקו, באתר האנציקלופדיה למתמטיקה.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט גליסון-כהנא-ז'לאזקו32298986Q2226660