משפט ברטראן

ציור 1 - דוגמאות למסלולים סגורים -
(1) מסלול אליפטי (2) אוסילציות סביב מסלול מעגלי (3) עקומת ליסז'ו

ציור 2 - דוגמה למסלול לא סגור - אליפסה המבצעת נקיפה

משפט ברטראן בפיזיקה, דן בתנאים לקיומם של מסלולים סגורים יציבים עבור תנועת גוף בהשפעת פוטנציאל מרכזי. על פי המשפט, הפוטנציאלים היחידים עבורם המסלולים החסומים סגורים עבור כל תנאי התחלה הם הפוטנציאל הגרביטציוני/אלקטרוסטטי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V(r) = -\frac{k}{r} } או הפוטנציאל ההרמוני $V(r)={\frac {1}{2}}kr^{2}$.

המשפט הוצג בידי הפיזיקאי הצרפתי ז'וזף ברטראן בשנת 1873.

הגדרות

נתון גוף, הנע בהשפעת כוח הנגזר מפוטנציאל מרכזי - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec F(\vec r) = -\vec\nabla V(r) } .

מסלול הגוף (כלומר פתרון משוואות התנועה) כפונקציה של הזמן הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec r(t) } . כיוון שהגוף נע בהשפעת כוח מרכזי, מסלול תנועתו מוגבל למישור וניתן לתאר אותו על ידי שימוש בקואורדינטות פולריות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r,\theta } .

מסלול הגוף הוא חסום אם קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R } כך ש $\ r(t)<R$ לכל זמן t (כלומר הגוף אינו מתרחק לאינסוף, אלא נשאר בסביבת מקור הכוח).

מסלול הגוך הוא סגור אם קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T } כך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec r(t+T) = \vec r(t) } (במקרה זה הגוף מבצע תנועה מחזורית עם זמן מחזור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T } ).

התנאים לקבלת מסלול סגור

ציור 3 - הפוטנציאל האפקטיבי עבור בעיית קפלר עם כוח מושך וסיווג המסלולים האפשריים. מסלול מעגלי מתקבל עבור אנרגיה השווה למינימום הפוטנציאל האפקטיבי.

מסלולים מעגליים

המסלול הסגור הפשוט ביותר הוא מסלול בצורת מעגל, עבורו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r(t) = r_0 = \rm{const}} . מסלול כזה קיים עבור כל כוח מושך, והוא מתקבל כאשר הכוח הפועל על הגוף מתקזז בדיוק עם ה"כוח הצנטריפוגלי", כלומר כאשר:

$$F(r_{0})=-m{\dot {\theta }}^{2}r_{0}=-{\frac {L^{2}}{mr_{0}^{3}}}$$

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ L=mr^2\dot\theta } הוא התנע הזוויתי. בנוסף, עבור מסלול מעגלי, האנרגיה של הגוף שווה למינימום של הפוטנציאל האפקטיבי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_\mathrm{eff}(r) = V(r) +\frac{L^2}{2mr^2} } (ציור 3).

לסיכום, ניתן לקבל מסלול מעגלי סגור עבור כל כוח מרכזי מושך, אך על מנת לקבל מסלול שכזה יש צורך בתנאי התחלה מיוחדים. הסעיפים הבאים ידונו בקיום מסלול סגור במקרים בו התנאים הנ"ל אינם מתקיימים.

סטיות קטנות ממסלול מעגלי

כדי לבחון את המתרחש עבור מסלול שאינו מעגלי, יש להשתמש במשוואת המסלול שפתרונה נותן את צורת המסלול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r (\theta) } . את משוואת המסלול נוח לכתוב עבור המשתנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u =\frac{1}{r} } :

$${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}u^{2}}}F\left({\frac {1}{u}}\right)$$

עבור, סטייה קטנה ממסלול מעגלי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ u=u_0 } , ניתן לבצע לינאריזציה של המשוואה ולקבל כי הפתרון הוא מן הצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ u = u_0 + a\sin(\beta\theta) } , כלומר אוסצילציות קטנות סביב המסלול המעגלי [ציור 1 (2)]. המסלול יהיה סגור אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \beta } הוא מספר רציונלי. ניתוח של משוואת המסלול מראה כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \beta } רציונלי יתקבל רק עבור כוח מן הצורה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(r) = - \frac{k}{r^{3-\beta^2}} } כלומר, רק עבור כוחות מן הצורה הנ"ל, כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \beta } רציונלי, סטייה קטנה מן התנאים למסלול מעגלי תוביל אף היא למסלול סגור (דוגמת זה המופיע בחלק 2 של ציור 1).

סטיות גדולות ממסלול מעגלי - משפט ברטראן

כאשר הסטייה ממסלול מעגלי אינה קטנה לא ניתן להסתפק בגרסה הלינארית של משוואת המסלול אלא יש צורך בניתוח מעמיק יותר. מניתוח זה עולה כי הכוחות היחידים עבורם מתקבל מסלול סגור עבור תנאי התחלה כללי (לאו דווקא קרוב למסלול מעגלי) הם:

• הכוח הריבועי ההפוך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(r) = -\frac{k}{r^2} } , דוגמת כוח הגרביטציה, או הכוח החשמלי, המתאים לפוטנציאל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V(r) = -\frac{k}{r} } .
• אוסצילטור הרמוני איזוטרופי - הכוח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F(r) = kr} , דוגמת כוח אלסטי של קפיץ (חוק הוק), המתאים לפוטנציאל הרמוני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V(r) = \frac{1}{2} k r^2 } .

בשני המקרים הנ"ל צורת המסלול המתקבלת היא אליפסה.

דיון

משפט ברטרנד שופך אור על הייחוד של אופי המסלולים בשתיים מן הבעיות החשובות במכניקה - בעיית קפלר ובעיית האוסצילטור ההרמוני. העובדה כי בבעיות אלו מתקבלים מסלולים סגורים אינה טריביאלית והיא תלויה בצורה המיוחדת של הכוח הפועל בבעיות אלו. ניתן להראות כי בבעיות אלו קיימים גדלים שמורים ייחודיים, בנוסף לגדולים השמורים הקיימים בכל בעיית כוח מרכזי (אנרגיה ותנע זוויתי). קיום הגדלים הנ"ל גורם לכך שהמסלולים המתקבלים סגורים. כך לדוגמה, בבעיית קפלר וקטור לפלס-רונגה-לנץ הוא וקטור שמור המצביע בכיוון הציר הראשי של האליפסה. העובדה כי זהו וקטור קבוע, שומרת על האליפסה קבועה, מונעת ממנה לבצע פרצסיה ולפיכך מתקבל מסלול סגור. כאשר ישנן סטיות מן הכוח הריבועי ההפוך הווקטור הנ"ל כבר אינו שמור, האליפסה מבצעת פרצסיה (ציור 2) והמסלול המתקבל כבר אינו סגור. סטיות כאלו, אמנם קיימות עבור תנועת כוכבי הלכת במערכת השמש (כתוצאה מתיקונים יחסותיים והשפעות הדדיות בין כוכבי הלכת) והדבר אכן גורם לפרצסיה במסלולם.

את היחוד של בעיית קפלר ובעיית האוסצילטור ההרמוני, ניתן להציג בדרכים נוספות:

• בתנועה חסומה המתקבלת בבעיית כוח מרכזי כללית, הגוף מבצע תנועה מחזורית בשתי הקואורדינטות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r, \theta } . באופן כללי תדירות התנודה בשתי הקואורדינטות תהיה שונה. אולם בבעיית קפלר ובבעיית האוסצילטור ההרמוני, קיים ניוון - שתי התדירויות שוות ולפיכך מתקבל מסלול סגור.
• בבעיית קפלר ובעיית האוסצילטור ההרמוני יש סימטריה גדולה יותר מאשר בבעיית כוח מרכזי כללית. בבעיית כוח מרכזי כללית קיימת סימטריה לסיבובים, כלומר המערכת אינוריאנטית תחת טרנספורמציה מתוך חבורת הסימטריה $\ SO(3)$. לעומת זאת עבור בעיית קפלר חבורת הסימטריה היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ SO(4) } ועבור האוסצילטור ההרמוני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ SU(3) } .

ראו גם

• וקטור לפלס-רונגה-לנץ
• בעיית קפלר

לקריאה נוספת

• Joseph Louis François Bertrand, "Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe", (1873) Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences, Paris 77, 849-853
• H. Goldstein, Classical Mechanics