משפט בלוך-לנדאו

באנליזה מרוכבת, משפטי בלוך-לנדאו הם משפטים בדבר פונקציה הולומורפית $f$ בעיגול היחידה המקיימת $|f^{\prime }(0)|=1$. המשפט הוא אחד השלבים המרכזיים בהוכחת משפט פיקארד הקטן. הם נקראים על שמם של המתמטיקאים אנדרי בלוך ואדמונד לנדאו.

משפט בלוך

משפט בלוך - תהי $f$ פונקציה הולומורפית בעיגול היחידה המקיימת $|f^{\prime }(0)|=1$. אזי קיים קבוע $b>0$ כך שהפונקציה הפיכה בכדור הפתוח ברדיוס $b$. כלומר, קיימת פונקציה הולומורפית $g$ כך ש-$g\circ f$ היא הזהות על כדור כנ"ל.

הקבוע האופטימלי $B$ שמקיים את משפט בלוך נקרא קבוע בלוך, וערכו לא ידוע עד היום. בכל זאת, ידוע חסם לא רע - $0.4332\approx \frac{\sqrt{3}}{4}+2\times 10^{-4}\le B\le \sqrt{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{3})\mathrm{\Gamma }(\frac{11}{12})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4})}\approx 0.4719$.

משפט לנדאו

משפט לנדאו (לעיתים גם משפט בלוך-לנדאו) - תהי $f$ פונקציה הולומורפית בעיגול היחידה המקיימת $|f^{\prime }(0)|=1$. אזי תמונת $f$ מכילה כדור ברדיוס חיובי $l>0$.

הקבוע האופטימלי $L$ המקיים את משפט לנדאו נקרא קבוע לנדאו; ניתן להוכיח דיי בקלות כי $L>\frac{1}{16}$, וטיעונים מסובכים יותר מראים כי $0.5<L<0.544$ בערך. גם הערך של $L$ לא ידוע.

משפט ואלירון

המשפט נקרא על שמו של המתמטיקאי הצרפתי ג'ורג ואלירון. משפט זה הביא את בלוך להוכיח את המשפט בנוסח לעיל.

משפט ואלירון - אם $f$ פונקציה שלמה לא קבועה, אז קיים עיגול $D$ ופונקציה אנליטית $\varphi :D\to \mathbb{ℂ}$ כך ש-$\mathrm{\forall }z\in D:f(\varphi (z))=z$.

למעשה, משפט ואלירון מתאים למשפט בלוך, לפי עקרון בלוך.

יישומים

במשפט פיקארד הקטן יש שימוש במסקנה ממשפט בלוך-לנדאו:

משפט: אם $f$ פונקציה שלמה לא קבועה, אז תמונתה מכילה עיגול ברדיוס 1.

הוכחה: $f$ לא קבועה, תהי $z_0\in \mathbb{ℂ}$ עבורה $f^{\prime }(z_0)\ne 0$. נגדיר $\psi (z)=\frac{1}{16}f(\frac{16}{f^{\prime }(z_0)}z+z_0)$. אז $\psi$ מקיימת את תנאי משפט לנדאו, ולכן מכילה כדור ברדיוס $\frac{1}{16}$, ולכן מתקיים הדרוש.

ראו גם

• משפטי פיקארד

קישורים חיצוניים

• משפט בלוך-לנדאו, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט בלוך-לנדאו36031142Q266291