משוואות הטלגרף

משוואות הטלגרף (באנגלית: Telegrapher's equations) הן צמד משוואות דיפרנציאליות חלקיות ליניאריות ומצומדות שמתארות את המתח והזרם החשמלי על קו תמסורת חשמלי כפונקציה של המרחק והזמן. המשוואות תוארו על ידי אוליבר הביסייד שפיתח את מודל קו התמסורת במאמר מ-1876. המודל מדגים כיצד גלים אלקטרומגנטיים עשויים להיות מוחזרים על הקו, ושתבניות דמויות גלים נוסעים יכולות להיווצר לאורך הקו.

התאוריה של משוואות הטלגרף תקפה לרוב התדירויות החל מזרם ישר (שלו תדירות אפס) ועד לגלי רדיו בתדר גבוה.

רכיבים מפולגים

משוואות הטלגרף, כמו כל המשוואות האחרות המתארות תופעותִ חשמליות, נובעות ממשוואות מקסוול. בגישה יותר מעשית, ניתן להניח שמערך שני המוליכים (הכבל הפנימי והכבל החיצוני; ראו גם כבל קואקסיאלי) מורכב משרשרת אינסופית של רכיבים חשמליים בעלי שתי מסופים (ראו איור), כשכל מקטע בשרשרת מייצג קטע אינפיניטסימלי של קו התמסורת:

ההתנגדות החשמלית המפולגת $R$ של המוליכים (התנגדות ליחידת אורך) מיוצגת כנגד. במוליכים מעשיים, בתדרים גבוהים יותר, $R$ גדל בקירוב ביחס ישר לשורש הריבועי של התדירות אודות לאפקט העור.
ההשראות המפולגת $L$ (אודות לשדה המגנטי סביב התילים, השראות עצמית וכו') מיוצגת כמשרן המחובר בטור לנגד, ונמדדת ביחידות של השראות ליחידת אורך.
הקיבול החשמלי המפולג $C$ בין שני המוליכים מיוצג כקבל ה"מגשר" בין התיל המוליך הפנימי לחיצוני (מיוצג באיור כ-C ונמדד ביחידות של קיבול ליחידת אורך).
המוליכות החשמלית המפולגת $G$ של התווך הדיאלקטרי המפריד בין שני המוליכים מיוצג כנגד המאפשר "זרם זליגה" בין המוליך הפנימי לחיצוני (מיוצג באיור כ-G). לנגד זה במודל יש התנגדות $1/G$ . הגודל $G$ כולל בתוכו הן את השפעת ההתנגדות החשמלית של התווך הדיאלקטרי והן את אובדן האנרגיה עקב האפקט של חימום דיאלקטרי. אם הדיאלקטרן הוא ואקום אידיאלי, אז $G\equiv 0$ .

מודל הטלגרף מורכב מסדרה אינסופית של האלמנטים האינפיניטסימליים המוראים באיור. כל אחד מהגדלים $R$ , $L$ , $C$ , ו- $G$ מכונים "קבועי קו ראשוניים" כדי להבדיל בינם ל"קבועי הקו המשניים" הנגזרים מהם כגון העכבה האופיינית, קבוע ההתפשטות, קבוע ההנחתה וקבוע הפאזה. כל אחד מהגדלים הללו קבוע ביחס לזמן, המתח והזרם. עם זאת, הם אינם פונקציות קבועות של התדירות.

תפקיד כל אחד מהרכיבים

תרשים סכמטי המראה גל המתקדם ימינה על קו תמסורת חסר איבודים. הנקודות השחורות מייצגות אלקטרונים, והחצים את השדה החשמלי בין המוליכים (המתח החשמלי).

התפקידים של כל אחד מהרכיבים ניתנים לדימוי ויזואלי דרך האנימציה משמאל:

ההשראות L: בדומה לכל מעגל חשמלי המכיל משרנים, ההשראות גורמת לזרם להיראות כאילו יש לו אינרציה - כלומר כאשר ישנה השראות גדולה, קשה להגדיל או להפחית את הזרם החשמלי בנקודה נתונה. השראות גדולה גורמת לגל הנוסע להתקדם לאט יותר, בדיוק כשם שגלים נעים לאט יותר על חבל כבד מאשר על מיתר קליל.
הקיבול C: הקיבול החשמלי מכתיב כמה האלקטרונים שנערמים באזור מסוים בכל מוליך דוחים או מושכים את האלקטרונים במוליך השני. שפת המוליך הפנימי נחשבת ללוח אחד של הקבל בעוד ששפת המוליך החיצוני נחשבת ללוח השני של הקבל; טעינה של לוח אחד של הקבל חייבת להיות מלוות בטעינה במטען משטחי הפוך של לוח הקבל השני. כאשר הקיבול גדול יותר ההשפעה של המוליך הפנימי על החיצוני קטנה יותר (המתח החשמלי הנוצר נמוך יותר). כמו בכל מעגל חשמלי המכיל קבל, הקבל משמש כרכיב שאוגר אנרגיה חשמלית ומייצר כוח מחזיר (הקבל משול לקפיץ באנלוגיה האלקטרומכנית), כך שקיבול גבוה יותר משמעותו כוח מחזיר חלש יותר בקו הטלגרף, מה שגורם לגל בקו להתקדם לאט יותר.
ההתנגדות R: ההתנגדות שווה לסכום ההתנגדויות ליחידת אורך של המוליך הפנימי והחיצוני. התנגדות זאת שוחקת את האנרגיה של הגל (האנרגיה שנאבדת הופכת לחום), ותפקידה במשוואות הטלגרף הוא להוריד את המתח החשמלי (היא מופיעה במשוואת הטלגרף המכתיבה את הנגזרת המרחבית של המתח). באופן כללי, התנגדות הקו מאוד נמוכה בהשוואה להיגב ההשראותי $\omega L$ בתדירויות רדיו, כך שלעיתים מניחים לשם פשטות שהיא שווה לאפס.
המוליכות G: המוליכות בין הקווים מייצגת את המידה בה מטען חשמלי מסוגל "לזלוג" מהמוליך הפנימי לחיצוני, כאשר מוליכות גבוהה יותר שוחקת יותר זרם לחום בתווך שמשמש כבידוד בין שני המוליכים. לרוב, הבידוד בין התילים הוא טוב למדי, כך שהמוליכות היא זניחה בהשוואה להיגב הקיבולי $\omega C$ , ולשם פשטות מניחים שהיא אפס. עם זאת, מרבית החומרים שמתפקדים כמבודדים טובים בתדירויות נמוכות מאפשרים לעיתים קרובות מאוד זליגה רבה בתדירויות גבוהות.

משוואות הטלגרף

פיתוח המשוואות עושה שימוש בחוקי קירכהוף כדי לבטא את השינוי המרחבי במתח ובזרם. מחוק המתחים של קירכהוף ניתן להביע את הנגזרת של המתח לפי המרחק:

{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-RI(x,t)

זוהי משוואת הטלגרף הראשונה. מחוק הזרמים של קירכהוף ניתן להביע את הנגזרת של הזרם לפי המרחק:

{\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=-C{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)-GV(x,t)

וזוהי משוואת הטלגרף השנייה. ניתן לשלב את שתי המשוואות הדיפרנציאליות החלקיות המצומדות הללו לשתי משוואות דיפרנציאליות חלקיות במשתנה יחיד כל אחת (V או I):

{\begin{aligned}{\frac {~\ \partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\ V(x,t)-LC\ {\frac {~\ \partial ^{2}}{\ \partial t^{2}}}\ V(x,t)&=(RC+GL)\ {\frac {\ \partial }{\partial t}}\ V(x,t)+GR\ V(x,t)\\[6pt]{\frac {~\ \partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\ I(x,t)-LC\ {\frac {~\ \partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\ I(x,t)&=(RC+GL)\ {\frac {\ \partial }{\partial t}}\ I(x,t)+GR\ I(x,t)\end{aligned}}

תמסורת ללא הנחתה

כאשר $~\omega L\gg R~$ ו- $~\omega C\gg G~,$ אז התנגדות התיל ומוליכות התווך המבודד ניתנות להזנחה, וקו התמסורת הופך למוליך גלים אידיאלי. במקרה זה, המודל תלוי רק בקבועים C ו-L. משוואות הטלגרף יתארו במקרה זה את הקשר בין הזרם I והפרש הפוטנציאלים V (המתח) בין שני המוליכים בכל נקודה על קו התמסורת, כשכל אחד ממשתנים אלו הוא פונקציה של המקום x והזמן t:

V=V(x,t)

I=I(x,t)

המשוואות בעבור קווי תמסורת חסרי הנחתה

משוואות הטלגרף הן צמד משוואות דיפרנציאליות חלקיות מצומדות, מסדר ראשון. במקרה זה, המשוואה הראשונה מראה שהמתח המושרה קשור לקצב השינוי לפי הזמן של הזרם, בעוד השנייה מראה, באופן דומה, שהזרם שנושא התיל קשור לקצב השינוי הזמני של המתח:

{\frac {\partial V}{\;\partial x\;}}=-L{\frac {\partial I}{\;\partial t\;}}

{\frac {\partial I}{\;\partial x\;}}=-C{\frac {\partial V}{\;\partial t\;}}

אפשר לשלב את המשוואות הללו לשתי משוואות גלים מדויקות, אחת בעבור המתח והשנייה בעבור הזרם:

~{\frac {\partial ^{2}V}{{\partial t}^{2}}}-u^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{{\partial x}^{2}}}=0~

~{\frac {\partial ^{2}I}{{\partial t}^{2}}}-u^{2}{\frac {\partial ^{2}I}{{\partial x}^{2}}}=0~

כאשר

~u={\frac {1}{\;{\sqrt {LC\;}}\;}}~

היא מהירות הגל שמתקדם דרך קו התמסורת. אף על פי שנראה שהקבועים L ו-C תלויים בגיאומטריה הספציפית של קו התמסורת, בעבור קווי תמסורת עם מוליכים מושלמים וואקום אידיאלי ביניהם, מהירות זאת תמיד שווה למהירות האור. למשל, עבור כבל קואקסיאלי הקיבול ליחידת אורך C הוא $C={2\pi \epsilon _{0}\epsilon _{r} \over \ln(D/d)}$ וההשראות ליחידת אורך L היא $L={\mu _{0}\mu _{r} \over 2\pi }\ln(D/d)$ , כאשר d ו-D הם קוטר המוליך הפנימי והחיצוני, בהתאמה. ניתן לראות שעבור $\epsilon _{r}=1,\mu _{r}=1$ (חומר מבודד לא דיאלקטרי ולא מגנטי), מהירות התקדמות הגלים בקו התמסורת תהיה:

~u={\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}}~

וזוהי מהירות האור בריק.

מצב סינוסואידלי יציב

במקרה של מצב סינוסואידלי תמידי (כאשר מופעל מתח חילופין סינוסואידלי חיצוני בין המוליכים), אז המתח והזרם מקבלים צורה של גלי סינוס באורך גל יחיד:

V(x,t)~=~{\mathcal {Re}}\;{\Bigl \{}\;V(x)\cdot e^{j\omega t}\;{\Bigr \}}~

I(x,t)~=~{\mathcal {Re}}\;{\Bigl \{}\;I(x)\cdot e^{j\omega t}\;{\Bigr \}}~,

כאשר $\omega$ היא התדירות הזוויתית של גל הסינוס היציב. במקרה זה, משוואות הטלגרף הופכות ל-:

{\frac {\mathrm {d} V}{\;\mathrm {d} x\;}}=-j\omega LI=-L{\frac {\mathrm {d} I}{\;\mathrm {d} t\;}}

{\frac {\;\mathrm {d} I\;}{\mathrm {d} x}}=-j\omega CV=-C{\frac {\mathrm {d} V}{\;\mathrm {d} t\;}}

ובאופן דומה, משוואות הגלים יהפכו ל-:

{\frac {\;\mathrm {d} ^{2}V\;}{\mathrm {d} x^{2}}}+k^{2}V=0~

{\frac {\;\mathrm {d} ^{2}I\;}{\mathrm {d} x^{2}}}+k^{2}I=0~

כאשר k הוא מספר הגל:

~k=\omega {\sqrt {LC\;}}={\omega  \over u}~.

כל אחת מהמשוואות הללו מקבלת את הצורה של משוואת הלמהולץ חד-ממדית.

בעבור קו תמסורת ללא הנחתה, ניתן להראות ש-:

V(x)=V_{1}e^{-jkx}+V_{2}e^{+jkx}

ו-

I(x)={V_{1} \over Z_{0}}\,e^{-jkx}-{V_{2} \over Z_{0}}\,e^{+jkx}

כאשר $~k~$ מקבל ערך ממשי ו- $~Z_{0}~$ היא "העכבה האופיינית" של קו התמסורת, אשר בעבור מקרה זה נתונה בביטוי:

~Z_{0}={\sqrt {{L \over C}\;}}~

ואילו $~V_{1}~$ ו- $~V_{2}~$ הם קבועי אינטגרציה שרירותיים, אשר נקבעים על ידי שני תנאי השפה (אחד בעבור כל קצה של קו התמסורת).

הפתרון הכללי בעבור תמסורת ללא הנחתה

במקרה זה של תמסורת ללא הנחתה ( $~R=G=0~$ ), הפתרון הכללי ביותר למשוואת הגלים למתח הוא סכום של גל הנוסע קדימה וגל הנוסע אחורה:

~V(x,t)\,=\,f_{1}(x-u\,t)+f_{2}(x+u\,t)~

כאשר

$\,f_{1}\,$ ו- $\,f_{2}\,$ יכולות להיות כל שתי פונקציות אנליטיות, ו-
$\,u=1/{\sqrt {LC\,}}\,$ היא מהירות המופע של התקדמות הגל.

$\,f_{1}\,$ מייצגת את פרופיל הגל הנוסע משמאל לימין בכיוון החיובי של ציר x, בעוד $\,f_{2}\,$ מייצגת את פרופיל הגל הנוסע מימין לשמאל בכיוון השלילי של ציר x. המתח הרגעי בכל נקודה על הקו היא סכום המתחים אודות לשני הגלים.

תמסורת עם הנחתה

כאשר הרכיבים המרסנים $~R~$ ו- $~G~$ משמעותיים מדי מכדי להזניחם, המשוואות הדיפרנציאליות שמתארות מקטע קו הן

{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\;\partial x\;}}V(x,t)&~=~-L\,{\frac {\partial }{\;\partial t\;}}I(x,t)-R\,I(x,t)~,\\[6pt]{\frac {\partial }{\;\partial x\;}}I(x,t)&~=~-C\,{\frac {\partial }{\;\partial t\;}}V(x,t)-G\,V(x,t)~.\end{aligned}}

באמצעות גזירה של שתי המשוואות ביחס ל-x ומעט אלגברה, מקבלים צמד משוואות דיפרנציאליות חלקיות היפרבוליות בכל אחד מהנעלמים:

{\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\,{\partial x}^{2}\,}}V&~=~L\,C\,{\frac {\partial ^{2}}{\,{\partial t}^{2}\,}}V+\left(\,R\,C+G\,L\,\right)\,{\frac {\partial }{\,\partial t\,}}V+G\,R\,V~,\\[6pt]{\frac {\partial ^{2}}{\,{\partial x}^{2}\,}}I&~=~L\,C\,{\frac {\partial ^{2}}{\,{\partial t}^{2}\,}}I+\left(\,R\,C+G\,L\,\right)\,{\frac {\partial }{\,\partial t\,}}I+G\,R\,I~.\\\end{aligned}}

אלו הן משוואות גלים מוכללות עם איברים נוספים התלויים בפונקציות הנעלמות ונגזרותיהן הראשונות. האיברים הנוספים גורמים לאות לדעוך ולהתרחב עם הזמן והמרחק. אם ההנחתה בקו קטנה יחסית ( $~R\ll \omega L~$ ו- $~G\ll \omega C~$ ) אז חוזק האות ידעך לפי המרחק לפי $~e^{-\alpha \,x}~$ כאשר $~\alpha ~\approx ~{\frac {R}{\,2\,Z_{0}\,}}+{\frac {\,G\,Z_{0}\,}{2}}~$ , כש- $Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}$ .

חישוב קבוע ההנחתה והעכבה האופיינית של קו תמסורת

קבוע ההנחתה

ניתן להגיע לקירובים אלו באמצעות חישוב העכבה האופיינית (המרוכבת) של מקטע בקו, ממנה ניתן להסיק את הערך המרוכב של מספר הגל k. קבוע ההנחתה $\alpha$ יהיה שווה לחלק המדומה של k. התוצאה עבור מספר הגל היא:

k=\pm {\sqrt {(-\omega L+Rj)(-\omega C+Gj)}}

בגבול שבו $~R\ll \omega L~$ ו- $~G\ll \omega C~$ הנוסחה לעיל לקבוע ההנחתה נובעת מתוך הצורה של k דרך הקירוב הבינומי לשורשים ריבועיים ( ${\sqrt {1+x}}\approx 1+{\frac {x}{2}}$ כאשר $x\ll 1$ ), המאפשר לחשב את החלק המדומה של k.

העכבה האופיינית

ייצוג מקטע מקו תמסורת.

את העכבה האופיינית $Z$ לקו תמסורת ניתן לחשב בעזרת הטיעון הבא. היות והעכבה האופיינית מוגדרת כיחס שבין מתח הקלט המופעל לבין הזרם החשמלי בעבור קו טלגרף חצי אינסופי, אז כתוצאה מאינסופיות הקו העכבה בין שתי המסופים הימניים (מיוצגים באיור כ-"Port B") צריכה להיות שווה לעכבה בין שתי המסופים השמאליים (מיוצגים באיור כ-"Port A"), וכל אחת מהן צריכה להיות שווה ל- $Z$ . לפיכך ניתן לתאר את המעגל החשמלי כולו בדומה לאיור לעיל מן הפסקה "רכיבים מפולגים", אלא שמוסיפים רכיב שהעכבה שלו היא $Z$ במקביל לשני הרכיבים $Cdx$ ו- $Gdx$ , כך ששלושת הרכיבים הללו מחוברים במקביל, ושלושתם ביחד מחוברים בטור לרכיבים $Rdx$ ו- $Ldx$ . לפיכך העכבה השקולה של המעגל כולו היא: