מספרי אוילר

מספרי אוילר הם המקדמים בפיתוח לטור טיילור של פונקציית סקאנט היפרבולי (אחד חלקי הקוסינוס ההיפרבולי):

sech (t) = \frac{1}{\cosh (t)} = \frac{2}{e^{t} + e^{- t}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{E_{n}}{n!} \cdot t^{n}

ניתן לחשב את המקדמים על ידי נוסחת הנסיגה: $E_{0} = 1; E_{n} = - \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n}{k}) E_{k}$

ובקירוב: $E_{2 n} \approx {(- {(\frac{4 n}{π e})}^{2})}^{n} 8 \sqrt{\frac{n}{π}}$

סקאנט: $\sec (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} E_{2 n} \frac{(- x^{2})^{n}}{(2 n)!} : | x | < \frac{π}{2}$

\int_{0}^{\infty} \frac{\ln (x)^{n}}{1 + x^{2}} d x = | E_{n} | {(\frac{π}{2})}^{n + 1}

מכיוון שהקוסינוס ההיפרבולי הוא פונקציה זוגית, המקדמים האי-זוגיים הם אפס. עשרת המקדמים הזוגיים הראשונים מופיעים להלן:

\begin{aligned} E_{0} & = 1 \\ E_{2} & = - 1 \\ E_{4} & = 5 \\ E_{6} & = 61 \\ E_{8} & = 1, 385 \\ E_{10} & = - 50, 521 \\ E_{12} & = 2, 702, 765 \\ E_{14} & = - 199, 360, 981 \\ E_{16} & = 19, 391, 512, 145 \\ E_{18} & = - 2, 404, 879, 675, 441 \end{aligned}

ראו גם

מספרי_אוילר17173881Q947015