במתמטיקה , ממוצע לוגריתמי הוא גודל המייצג ממוצע של שני מספרים חיוביים או יותר, בדומה לממוצע החשבוני והממוצע ההנדסי , וגודלו תמיד נמצא בין שניהם. ממוצע זה מחושב על ידי שימוש בפונקציית הלוגריתם ולו שימושים שונים במתמטיקה ובפיזיקה , בהם למשל במעברי חום ומסה .
הממוצע הלוגריתמי של שני מספרים חיוביים שונים
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
[1]
LM
(
a
,
b
)
:=
a
−
b
ln
a
b
=
a
−
b
ln
a
−
ln
b
{\displaystyle \operatorname {LM} (a,b):={\frac {a-b}{\ln {\frac {a}{b}}}}={\frac {a-b}{\ln {a}-\ln {b}}}}
במקרה שבו
a
=
b
{\displaystyle a=b}
LM
(
a
,
b
)
:=
a
=
b
{\displaystyle \operatorname {LM} (a,b):=a=b}
תכונות סימטריות ניתן להוכיח כי הממוצע הלוגריתמי סימטרי :
LM
(
a
,
b
)
=
a
−
b
ln
a
−
ln
b
=
−
1
−
1
⋅
a
−
b
ln
a
−
ln
b
=
b
−
a
ln
b
−
ln
a
=
LM
(
b
,
a
)
{\displaystyle \operatorname {LM} (a,b)={\frac {a-b}{\ln {a}-\ln {b}}}={\frac {-1}{-1}}\cdot {\frac {a-b}{\ln {a}-\ln {b}}}={\frac {b-a}{\ln {b}-\ln {a}}}=\operatorname {LM} (b,a)}
מונוטוניות ניתן להוכיח כי הממוצע הלוגריתמי עולה מונוטונית . כלומר, אם
a
1
≤
a
2
{\displaystyle a_{1}\leq a_{2}}
b
1
≤
b
2
{\displaystyle b_{1}\leq b_{2}}
LM
(
a
1
,
b
1
)
≤
LM
(
a
2
,
b
2
)
{\displaystyle \operatorname {LM} (a_{1},b_{1})\leq \operatorname {LM} (a_{2},b_{2})}
הומוגניות ניתן להוכיח כי הממוצע הלוגריתמי הומוגני . כלומר, לכל
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
LM
(
α
a
,
α
b
)
=
α
LM
(
a
,
b
)
{\displaystyle \operatorname {LM} (\alpha a,\alpha b)=\alpha \operatorname {LM} (a,b)}
רציפות פונקציית הממוצע הלוגריתמי
LM
(
x
,
y
)
{\displaystyle \operatorname {LM} (x,y)}
פונקציה רציפה בשני המשתנים. בנקודות שבהן
x
≠
y
{\displaystyle x\neq y}
x
=
y
{\displaystyle x=y}
כלל לופיטל :
lim
x
→
y
LM
(
x
,
y
)
=
lim
x
→
y
x
−
y
ln
x
−
ln
y
=
lim
x
→
y
1
1
x
=
lim
x
→
y
x
=
y
=
LM
(
y
,
y
)
{\displaystyle \lim _{x\to y}{\operatorname {LM} (x,y)}=\lim _{x\to y}{\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}=\lim _{x\to y}{\frac {1}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to y}{x}=y=\operatorname {LM} (y,y)}
הגדרות אלטרנטיביות לממוצע הלוגריתמי מספר הגדרות אלטרנטיביות אשר עושות שימוש באינטגרלים :[2]
LM
(
a
,
b
)
=
∫
0
1
a
u
b
1
−
u
d
u
{\displaystyle \operatorname {LM} (a,b)=\int _{0}^{1}{a^{u}b^{1-u}du}}
1
LM
(
a
,
b
)
=
∫
0
1
d
u
u
a
+
(
1
−
u
)
b
{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {LM} (a,b)}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{ua+(1-u)b}}}
1
LM
(
a
,
b
)
=
∫
0
∞
d
u
(
a
+
u
)
(
b
+
u
)
{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {LM} (a,b)}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {du}{(a+u)(b+u)}}}
אי-שוויון הממוצעים ייצוג ויזואלי של הממוצע ההנדסי (בירוק), הלוגריתמי (באדום) והחשבוני (בכחול) כשטח ביחס לגרף הפונקציה
f
(
x
)
=
exp
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\exp(x)}
אי-שוויון הממוצעים הממוצע החשבוני והממוצע ההנדסי של
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
AM
(
a
,
b
)
:=
a
+
b
2
{\displaystyle \operatorname {AM} (a,b):={\frac {a+b}{2}}}
GM
(
a
,
b
)
:=
a
b
{\displaystyle \operatorname {GM} (a,b):={\sqrt {ab}}}
ניתן להוכיח כי לכל
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
GM
(
a
,
b
)
≤
LM
(
a
,
b
)
≤
AM
(
a
,
b
)
{\displaystyle \operatorname {GM} (a,b)\leq \operatorname {LM} (a,b)\leq \operatorname {AM} (a,b)}
הוכחה כדי להוכיח את אי השוויונות יש להסתכל על גרף הפונקציה
f
(
x
)
=
exp
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\exp(x)}
ln
a
{\displaystyle \ln a}
ln
b
{\displaystyle \ln b}
שטח הירוק קטן מהשטח האדום שקטן מהשטח הכחול, זאת מכיוון שכל שטח מכיל בתוכו את השטח הקודם.
את שטח הטרפז הירוק ניתן לחשב על-ידי מציאת אורך קטע האמצעים שלו. אורך זה הוא:
f
(
ln
a
+
ln
b
2
)
=
exp
(
ln
a
+
ln
b
2
)
=
exp
(
ln
(
a
b
)
)
=
a
b
{\displaystyle f\left({\frac {\ln a+\ln b}{2}}\right)=\exp \left({\frac {\ln a+\ln b}{2}}\right)=\exp(\ln({\sqrt {ab}}))={\sqrt {ab}}}
לכן, שטח הטרפז הירוק הוא
A
green
=
a
b
(
ln
b
−
ln
a
)
{\displaystyle A_{\text{green}}={\sqrt {ab}}(\ln b-\ln a)}
את השטח האדום ניתן לחשב על-ידי אינטגרל:
A
red
=
∫
ln
a
ln
b
exp
(
x
)
d
x
=
[
exp
(
x
)
]
ln
a
ln
b
=
b
−
a
{\displaystyle A_{\text{red}}=\int _{\ln a}^{\ln b}{\exp(x)dx}=[\exp(x)]_{\ln a}^{\ln b}=b-a}
אורכי הבסיסים של הטרפז הכחול הם
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
A
blue
=
1
2
(
a
+
b
)
(
ln
b
−
ln
a
)
{\displaystyle A_{\text{blue}}={\frac {1}{2}}(a+b)(\ln b-\ln a)}
על-ידי השוואת השטחים מתקבל:
A
green
≤
A
red
≤
A
blue
{\displaystyle A_{\text{green}}\leq A_{\text{red}}\leq A_{\text{blue}}}
a
b
(
ln
b
−
ln
a
)
≤
b
−
a
≤
1
2
(
a
+
b
)
(
ln
b
−
ln
a
)
{\displaystyle {\sqrt {ab}}(\ln b-\ln a)\leq b-a\leq {\frac {1}{2}}(a+b)(\ln b-\ln a)}
מחלקים את כל האגפים ב-
ln
b
−
ln
a
{\displaystyle \ln b-\ln a}
a
b
≤
b
−
a
ln
b
−
ln
a
≤
a
+
b
2
{\displaystyle {\sqrt {ab}}\leq {\frac {b-a}{\ln b-\ln a}}\leq {\frac {a+b}{2}}}
כנדרש. מש"ל .
שימושים מחלף חום גרף טמפרטורה למיקום בצינור עבור הצינור החם והצינור הקר במחלף חום בעל מנגנון זרימה נגדית בהינתן מחלף חום בעל שני צינורות בעלי זרימה נגדית ניתן לסמן את הפרש הטמפרטורות בין שני הצינורות בשני קצות המחלף בתור
Δ
A
{\displaystyle \Delta A}
Δ
B
{\displaystyle \Delta B}
הספק אנרגיית החום המועברת מהצינור החם לצינור הקר:[3]
Q
=
U
A
Δ
T
{\displaystyle Q=UA\Delta T}
זאת כאשר:
Q
{\displaystyle Q}
וואט ביחידות SI )
U
{\displaystyle U}
מטר בריבוע לקלווין ביחידות SI)
A
{\displaystyle A}
Δ
T
{\displaystyle \Delta T}
Δ
A
{\displaystyle \Delta A}
Δ
B
{\displaystyle \Delta B}
כלומר,
Δ
T
{\displaystyle \Delta T}
Δ
T
=
Δ
B
−
Δ
A
ln
(
Δ
B
Δ
A
)
{\displaystyle \Delta T={\frac {\Delta B-\Delta A}{\ln \left({\frac {\Delta B}{\Delta A}}\right)}}}
קישורים חיצוניים הערות שוליים 37600705 ממוצע לוגריתמי
ערך מורחב – אי-שוויון הממוצעים
![{\displaystyle A_{\text{red}}=\int _{\ln a}^{\ln b}{\exp(x)dx}=[\exp(x)]_{\ln a}^{\ln b}=b-a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d42591b96bd946d03e2be918592400dcedfc596)
What is the logarithmic mean, and why does it fit right in the middle??, בביצוע Michael Penn, סרטון באתר יוטיוב