ממוצע זהותי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, ממוצע זהותי הוא גודל מתמטי המייצג את הממוצע של שני מספרים ממשיים חיוביים.

עבור שני מספרים ממשיים חיוביים ושונים a ו-b, הממוצע הזהותי שלהם מוגדר להיות:[1]

I(a,b):=exp(alnablnbab1)=1eaabbab

כאשר a=b מגדירים I(a,b):=a=b

מוטיבציה

משפט הערך הממוצע של לגרנז' קובע כי בהינתן שני מספרים ממשיים a<b ופונקציה f:[a,b] רציפה בקטע הסגור [a,b] וגזירה בקטע הפתוח (a,b), אזי קיים a<c<b כך ש:

f(c)=f(b)f(a)ba

אם הנגזרת f היא פונקציה חד-חד-ערכית, c זה הוא יחיד וניתן להתייחס אליו כממוצע של a ו-b לפי הפונקציה f.

הממוצע הזהותי מתקבל מקביעת f(x)=xlnx.

תכונות

סימטריות

הממוצע הזהותי הוא סימטרי:

I(a,b)=exp(alnablnbab1)=exp(blnbalnaba1)=I(b,a)

מונוטוניות

ניתן להוכיח כי הממוצי הזהותי עולה מונוטונית בשני משתנים. כלומר, בהינתן a1a2 ו-b1b2 ניתן להוכיח כי I(a1,b1)I(a2,b2)

הומוגניות

הממוצע הזהותי הוא הומוגני. כלומר, לכל a ו-b ולכל מקדם α>0:

I(αa,αb)=exp(αaln(αa)αbln(αb)αaαb1)=exp(aln(αa)bln(αb)ab1)=exp(alna+alnαblnbblnαab1)=exp(alnablnbab+lnα1)=αexp(alnablnbab1)=αI(a,b)

רציפות

הממוצע הזהותי I(x,y) הוא רציף בשני משתנים. בנקודות שבהן xy הרציפות נובעת מכך שהממוצע הזהותי הוא הרכבה של פעולות אלמנטריות רציפות כגון חיסור, כפל, חילוק, אקספוננט ולוגריתם. עבור הנקודות שבהן x=y ניתן להיעזר בגבול:

limxyxlnxylnyxy=lny+1

כדי לקבל ש:

limxyI(x,y)=limxyexp(xlnxylnyxy1)=exp(lny+11)=y=I(y,y)

קשר לממוצע סטולרסקי

עבור שני מספרים ממשיים חיוביים a ו-b ומספר ממשי p0,1, ממוצע סטולרסקי מחזקה p מוגדר להיות:

Sp(a,b):={aif a=b(apbpp(ab))1p1otherwise

ניתן להוכיח כי על אף שממוצע סטולרסקי אינו מוגדר עבור p=1, מתקיים:

limp1Sp(a,b)=I(a,b)

מסיבה זו ניתן להתייחס לממוצע הזהותי כמקרה פרטי של ממוצע סטולרסקי מחזקה 1.

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ממוצע זהותי, באתר MathWorld (באנגלית)

יש_בדף_תבנית_MathWorld_טקס

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

ממוצע זהותי37600727Q10972421