מטריצות גאמה של דיראק

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

מטריצות גאמה של דיראק הן אוסף של 4 מטריצות  γ0,γ1,γ2,γ3 (בתוספת מטריצה חמישית המייצגת את הכיראליות) בגודל 4 על 4 המשמשות להצגת משוואת דיראק

 (iγμμmc)ψ=0

כאשר μ=0,1,2,3 ויש סכימה על אינדקסים כפולים (הסכם הסכימה של איינשטיין).

הגדרות

הצגת דיראק

בהצגה הסטנדרטית של דיראק מוגדרות המטריצות באופן הבא:

γ0=(I00I)=(1000010000100001),γ1=(0σxσx0)=(0001001001001000)
γ2=(0σyσy0)=(000i00i00i00i000),γ3=(0σzσz0)=(0010000110000100)

כאשר σk הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות

 γ5=iγ0γ1γ2γ3=i4!ϵμνρσγμγνγργσ=(0II0)

הצגת וייל

בהצגה הכיראלית של וייל מוגדרות המטריצות באופן הבא:

 γ1=(0σxσx0)=(0001001001001000)  γ0=(0II0)=(0010000110000100),
 γ3=(0σzσz0)=(0010000110000100)  γ2=(0σyσy0)=(000i00i00i00i000),

כאשר σk הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות

 γ5=iγ0γ1γ2γ3=i4!ϵμνρσγμγνγργσ=(I00I)

בהצגה זו קל לבטא את ההטלה הכיראלית של ספינורי וייל השמאלי והימני:

:ψL=(I000)ψ=Iγ52ψ,ψR=(000I)ψ=I+γ52ψ

הצגת מיורנה

פחות נפוצה היא ההצגה של מיורנה בה המטריצות הן דמיוניות. הצגה זו נתונה על ידי

γ0=(0σ2σ20),γ1=(iσ300iσ3)
γ2=(0σ2σ20),γ3=(iσ100iσ1),γ5=(σ200σ2)

תכונות

זהויות בסיסיות

כאשר סוגריים מסולסלים מסמנים אנטי-קומוטטור ו-η היא מטריקת מינקובסקי  ημν=diag(1,1,1,1).
בפרט, מטריצות שונות הן אנטי-מתחלפות, כלומר: לכל μν מתקיים  γμγν=γνγμ
  • מכאן נובע ש:
    •  (γ0)2=I4×4
    •  (γk)2=I4×4 כאשר k=1,2,3.
  • ביחס ללקיחת צמוד הרמיטי:
    • (γ0)=γ0
    • (γk)=γk כאשר k=1,2,3.
  • מטריצת הכיראליות γ5 מקיימת:
    •  (γ5)=γ5
    •  (γ5)2=I4×4
    •  {γμ,γ5}=0, כלומר:  γμγ5=γ5γμ
  • מטריצת הכיראליות הזו היא פסאודו-סקלר.

זהויות סכימה

Num Identity
1 γμγμ=4I
2 γμγνγμ=2γν
3 γμγνγργμ=4ηνρI
4 γμγνγργσγμ=2γσγργν

זהויות עקבה

Num Identity
1 העקבה של כל מכפלה אי-זוגית של מטריצות  γμ היא אפס.
2 tr(γμγν)=4ημν
3 tr(γμγνγργσ)=4(ημνηρσημρηνσ+ημσηνρ)
4 tr(γ5)=tr(γμγνγ5)=0
5 tr(γμγνγργσγ5)=4iϵμνρσ

כאשר יש להיעזר בתכונות העקבה:

  • ליניאריות:  tr(αA+βB)=αtr(A)+βtr(B)
  • ציקליות:  tr(ABC)=tr(CAB)=tr(BCA)

יוצרים של חבורת לורנץ

אפשר לבטא את היוצרים של חבורת לורנץ (חבורת טרנספורמציות לורנץ) בהצגה הכיראלית על ידי

 Sμν=i4[γμ,γν]

ואז ההאצות (boost) נתונות על ידי

 Sij=i4[γ0,γk]=i2(σk00σk) 

והסיבובים נתונים על ידי

 Sij=i4[γi,γj]=12ϵijk(σk00σk)=12ϵijkΣk 

לקריאה נוספת

  • Peskin & Schroeder, Introduction to Quantum Field Theory, עמודים 40-41 ועמוד 50

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מטריצות גאמה של דיראק37409977Q1151645