למת רימן-לבג

במתמטיקה, למת רימן־לבג, על שם המתמטיקאים ברנהרד רימן ואנרי לבג, קובעת כי התמרת פורייה או התמרת לפלס של פונקציה ממרחב L¹ מתאפסת באינסוף. ללמה חשיבות רבה באנליזה הרמונית.

הלמה

בהינתן $ f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} $ פונקציה מדידה, שהיא L¹ (כלומר: אינטגרל לבג של $ |f| $ הוא סופי), אזי: $ {\displaystyle \lim _{z\to \pm \infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-izx}\,\mathrm {d} x\right]=0} $

כלומר, התמרת פורייה של $ f $ שואפת ל-0 כאשר $ z $ שואף לאינסוף.

למה מקבילה

תהא $ f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} $ פונקציה רציפה למקוטעין בקטע [L,L-], ויהיו A_n ו-B_n מקדמי טור פורייה שלה. אזי:

$ {\displaystyle \lim _{n\to \pm \infty }A_{n}=\lim _{n\to \pm \infty }B_{n}=0} $ניתן להכליל את הלמה של רימן-לבג לפונקציות אינטגרבליות ולאו דווקא רציפות.

הוכחה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

הוכחה עבור פונקציות רציפות ומחזוריות $ 2\pi $ לכל $ \epsilon >0 $ קיים פולינום טריגונומטרי$ p(x) $ כך ש- $ \forall x,|p(x)-f(x)|<\epsilon $נובע מיידית ממשפט פייר כיוון שממוצע סאזרו הוא פולינום טריגונומטרי לכל f (מקדמי פורייה של פולינום טריגונומטרי מקיימים : $ \lim _{|n|\to \infty }{\widehat {f}}(n)=0 $).

קישורים חיצוניים

• למת רימן-לבג, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

למת רימן-לבג35014697Q1187640