חסימות במידה אחידה

במתמטיקה, קבוצה של פונקציות היא חסומה במידה אחידה אם כל הפונקציות מהקבוצה חסומות על יד אותו קבוע. בשקילות, משפחת הפונקציה חסומה כאשר איחוד התמונות של כל הפונקציות השייכות לקבוצה הוא קבוצה חסומה. סדרת פונקציות $\{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ היא חסומה במידה אחידה אם קבוצת כל הפונקציות שבסדרה חסומה במידה אחידה.

באנליזה פונקציונלית, משפט בנך-שטיינהאוס מספק תנאים מספיקים לחסימות במידה אחידה של קבוצה של אופרטורים.

הגדרה פורמלית

הציר הממשי והמישור המרוכב

תהי ${\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to K,i\in I\}$ משפחה של פונקציות עם $X$ קבוצה כלשהי, $I$ קבוצת אינדקסים ו- $K$ שדה המספרים הממשיים או המרוכבים. ${\mathcal {F}}$ חסומה במידה אחידה אם קיים מספר ממשי $M$ כך שמתקיים:

$\forall i\in I\,\forall x\in X:\,\,\,|f_{i}(x)|\leq M$ .

מרחב מטרי

ביתר כלליות, אם $Y$ מרחב מטרי עם מטריקה $d$ , אז הקבוצה ${\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to Y,i\in I\}$ נקראת חסומה במידה אחידה, אם קיים איבר $a\in Y$ ומספר ממשי $M$ כך שמתקיים $\forall i\in I\,\forall x\in X:\,\,\,d(f_{i}(x),a)\leq M$ .

דוגמאות

כל סדרת פונקציות אשר מתכנסת במידה שווה בתחום נתון היא חסומה במידה אחידה על התחום.
סדרת הפונקציות $f_{n}(x)=\sin nx\,$ כך ש- $x$ ממשי ו- $n$ שלם חסומה במידה אחידה על כל הישר הממשי; החסם הוא 1.
סדרת הנגזרות של הפונקציות מהדוגמה שלעיל, $f'_{n}(x)=ncosnx$ , אינה חסומה במידה אחידה על כל הישר: סדרת הערכים $\{f_{n}'(2\pi )\}$ איננה חסומה.