חוג בוליאני

בתורת החוגים, חוג בוליאני הוא חוג שכל אבריו הם אידמפוטנטים. מן הזהות $x^2=x$ שחוג כזה מקיים על פי ההגדרה, נובע בקלות שהחוג קומוטטיבי בעל מאפיין 2.

מלבד התפקיד של חוגים כאלה בתורת החוגים, חשיבותם העיקרית היא בכך שחוג בוליאני אינו אלא אלגברה בוליאנית בתחפושת (ראו להלן).

אוסף החוגים הבוליאניים הוא מגוון (המוגדר על ידי הזהות האידמפוטנטית) ולכן הוא סגור למעבר לתת-חוגים, למנות, ולמכפלות ישרות.

דוגמאות

• האוסף $P(X)$ של כל תת-הקבוצות של קבוצה X, עם פעולות ההפרש הסימטרי והחיתוך, הוא חוג בוליאני (עם יחידה, שהיא X עצמה).

לפי משפט הייצוג של סטון, כל חוג בוליאני אפשר לשכן בחוג מהצורה $P(X)$.

• האוסף של תת-הקבוצות שהן סופיות או קו-סופיות בקבוצה אינסופית X, עם אותן פעולות כמו בדוגמה הקודמת, הוא תת-חוג של החוג הקודם.
• אוסף תת-הקבוצות הסופיות של קבוצה אינסופית X, ורק הן, הוא חוג בוליאני בלי יחידה.
• אוסף האידמפוטנטים בחוג קומוטטיבי (או בכל חוג אבלי), עם פעולת החיבור המתוקנת $e\oplus e^{\prime }=e+e^{\prime }-2e{e}^{\prime }$ ופעולת הכפל הרגילה, הוא חוג בוליאני.
• ההעתקה $x\mapsto 1-x$ היא איזומורפיזם $(R,+,\cdot ,0,1)\to (R,\oplus ,\odot ,1,0)$, כאשר $x\oplus y=x+y-1$ ו-$x\odot y=x+y-xy$; איזומורפיזם זה מחקה את הדואליות בין האלגברות הבוליאניות המתאימות לשני החוגים.

הקשר לאלגברות בוליאניות

יהי R חוג בוליאני עם יחידה. אפשר להגדיר על R את פעולות הסריג "וגם" (meet, $\wedge$) ו"או" (join, $\vee$) לפי $x\wedge y=xy$ ו-$x\vee y=x+y-xy$. באופן הזה מתקבל סריג דיסטריבוטיבי חסום בעל משלימים: החסמים הם איברי האפס והיחידה של החוג, והמשלים מוגדר לפי לפי $x^{\prime }=1-x$. סריג דיסטריבוטיבי חסום בעל משלימים נקרא גם אלגברה בוליאנית. בכיוון ההפוך, אם $(A,\wedge ,\vee {,}^{\prime },0,1)$ אלגברה בוליאנית, אפשר להגדיר ממנה חוג בוליאני לפי $xy=x\wedge y$ ו-$x+y=(x\wedge y^{\prime })\vee (x^{\prime }\wedge y)$. פעולות אלה הופכות זו את זו.

באופן כללי יותר, חוג בוליאני בלי יחידה מגדיר סריג דיסטריבוטיבי עם מינימום שהוא בעל משלימים יחסיים (כלומר, כזה שכל קטע שלו, היינו תת-סריג מהצורה $[a,b]=\{z:a\le z\le b\}$, הוא בעל משלימים). המינימום הוא איבר האפס. המשלים היחסי של $x$ בקטע $[a,b]$ אינו אלא $a+b-x$. גם להפך, בסריג דיסטריבוטיבי עם מינימום שהוא בעל משלימים יחסיים אפשר להגדיר פעולות כפל (כמקודם) וחיבור ($x+y$ הוא המשלים של $x\wedge y$ בקטע $[0,x\vee y]$), ומתקבל חוג בוליאני בלי יחידה. גם כאן, הפעולות הופכות זו את זו.

באופן כללי עוד יותר, אפשר לראות בכל סריג דיסטריבוטיבי עם משלימים יחסיים, אפילו אם אין לו איבר מינימלי, גבול ישר של מערכת חוגים בוליאניים, עם "שיכונים" השומרים על הפעולות אבל לא על איבר האפס.

חוגים בוליאניים בתורת החוגים

ברדיקל ג'ייקובסון אין אידמפוטנטים (שונים מאפס), ולכן חוג בוליאני הוא תמיד פרימיטיבי למחצה. המנות הראשוניות של חוג בוליאני הן השדה בן שני איברים, ולכן חוג בוליאני הוא מכפלה תת-ישרה של עותקים של השדה ${\mathbb{𝔽}}_2$.

כל חוג בוליאני הוא חוג רגולרי פון-נוימן, באופן טריוויאלי (בכל חוג, כל אידמפוטנט הוא רגולרי). מכיוון שהוא קומוטטיבי נובע מכך שחוג בוליאני הוא רגולרי בחזקה, ובפרט האידיאלים שלו מקיימים את הזהות השימושית $IJ=I\cap J$. בפרט, כל אידיאל הוא אידמפוטנט. מכיוון שכל אידיאל אידמפוטנטי נוצר סופית בחוג קומוטטיבי נוצר על ידי אידמפוטנט, חוג בוליאני הוא חוג בזו.

נסמן ב-J את רדיקל ג'ייקובסון של חוג R כלשהו. טבעי לתהות מתי המנה $R/J$ בוליאנית. תופעה זו קשורה, במובנים שונים, לקיומו של רכיב אידמפוטנטי לכל איבר:

1. המנה $R/J$ בוליאנית וכל אידמפוטנט בחוג המנה ניתן להרמה יחידה לאידמפוטנט ב-R, אם ורק אם R הוא uniquely clean (לכל איבר יש פירוק יחיד מהצורה e+u כאשר e אידמפוטנט ו-u הפיך).
2. המנה $R/J$ בוליאנית ו-J נילי, אם ורק אם R הוא strongly nil-clean (כלומר, כל איבר הוא סכום e+t כאשר e אידמפוטנט ו-t נילי, ומתקיים et=te). כל חוג uniquely clean הוא strongly nil-clean.
3. כל חוג strongly nil-clean הוא uniquely strongly clean (לכל איבר יש פירוק יחיד מהצורה e+u עם e אידמפוטנט, u הפיך, ו-eu=ue).
4. בכל חוג uniquely strongly clean, המנה $R/J$ בוליאנית.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

חוג בוליאני40698859