משפטי סילו
משפטי סילו הם משפטים בתורת החבורות, העוסקים בתת-חבורות-p מקסימליות של חבורה סופית. חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני $ p $ נקראות חבורות p, וכולן נילפוטנטיות. משפטי סילו מאפשרים לחקור חבורות סופיות באמצעות תת-חבורות כאלה והפעולה שלה עליהן, ומכאן המעמד היסודי שלהן בתורת החבורות.
את המשפטים הוכיח המתמטיקאי הנורווגי לודוויג סילו בשנת 1872, והם מכלילים את משפט קושי שנוגע למקרה $ n=1 $.
במובן מסוים, משפטי סילו הפוכים למשפט לגראנז'. לפי משפט לגראנז', הסדר של תת-חבורה $ H $ של $ G $ חייב לחלק את הסדר של $ G $. משפטי סילו מראים שאם נתון מחלק $ q $ של הסדר של $ G $ שהוא חזקת ראשוני, אז אפשר למצוא תת-חבורה מסדר $ q $. משפטי סילו קובעים גם שכל תת-החבורות שסדרן הוא חזקת-$ p $ מקסימלית, צמודות זו לזו.
הגדרות
אם $ p $ הוא מספר ראשוני המחלק את הסדר של החבורה הסופית $ G $, אז קיימת חזקה מקסימלית של $ p $ המחלקת את הסדר. כלומר $ p^{n} $ מחלק את סדר החבורה, אבל $ p^{n+1} $ אינו מחלק. לתת-חבורה של $ G $ שסדרה שווה ל-$ p^{n} $ קוראים חבורת p-סילו של $ G $. הגדרה שימושית אחרת לאותו מושג: חבורת $ p $-סילו היא תת-חבורה של $ G $ שהיא חבורת-p, בעלת אינדקס זר ל-$ p $.
לדוגמה, אם $ |G|=24=2^{3}\cdot 3 $ אז תת-חבורה מסדר $ 3 $ היא חבורת $ 3 $-סילו של $ G $, ותת-חבורה מסדר $ 8 $ היא חבורת $ 2 $-סילו של $ G $.
ניסוח המשפטים
נניח ש-$ G $ חבורה סופית וש-$ p^{n} $ היא חזקה מקסימלית של ראשוני $ p $ המחלקת את הסדר של $ G $. נסמן ב-$ n_{p} $ את מספרן של חבורות p-סילו השונות של $ G $. נציין מיד שאם $ P $ חבורת סילו, אז תת-החבורות הצמודות לה גם הן חבורות $ p $-סילו.
משפט סילו הראשון
לכל חבורה $ G $ קיימת חבורת $ p $-סילו. (דהיינו $ n_{p}>0 $).
הכללה של משפט זה קובעת שלכל חזקת $ p $ המחלקת את הסדר של $ G $, לאו דווקא החזקה המקסימלית, קיימת תת-חבורה בגודל זה.
משפט סילו השני
כל חבורות $ p $-סילו של $ G $ צמודות זו לזו. יתרה מזו, כל תת-חבורה של $ G $, שהיא חבורת $ p $, מוכלת באיזושהי חבורת $ p $-סילו של $ G $.
- מסקנה
חבורת $ p $-סילו היא יחידה (כלומר $ n_{p}=1 $) אם ורק אם היא תת חבורה נורמלית של $ G $.
משפט סילו השלישי
מספרן של חבורות $ p $-סילו של $ G $ שקול לאחת מודולו $ p $. כלומר $ n_{p}\equiv 1{\pmod {p}} $.
- מסקנה
$ n_{p} $ מחלק את הסדר של $ G $. אם נסמן $ |G|=p^{n}m $ (כאשר n מקסימלי), נובע מכך ש-$ n_{p} $ מחלק את $ m $, משום שלפי משפט סילו השלישי $ n_{p} $ זר ל־$ p $.
הוכחה: מספר תת-החבורות הצמודות לתת-חבורה $ H $ של $ G $ שווה לאינדקס של המנרמל של $ H $ ב-$ G $, שהוא תת-חבורה המכילה את $ H $. אבל המנרמל מכיל את $ H $, לכן האינדקס שלו מחלק את זה של $ H $, וממילא הוא זר ל-$ p $.
דוגמה לשימוש
נראה שלכל חבורה $ G $ מסדר $ 105 $ מוכרחה להיות תת-חבורה נורמלית. $ 105=3\cdot 5\cdot 7 $, ולכן יש לחבורה תת-חבורות מסדר $ 3 $, $ 5 $ ו-$ 7 $. מספרן של החבורות מסדר $ 3 $ שקול ל-$ 1 $ מודולו $ 3 $ ומחלק את $ 35 $ - ולכן הוא $ 1 $ או $ 7 $. באופן דומה מספרן של החבורות מסדר $ 5 $ הוא $ 1 $ או $ 21 $, ושל אלו מסדר $ 7 $ הוא $ 1 $ או $ 15 $. אם אחת מחבורות אלו היא יחידה מסדרה, אז היא נורמלית. נניח שאין כזו, אז יש $ 7 $ חבורות מסדר $ 3 $, שכולן ציקליות כמובן. חבורות מסדר ראשוני מוכרחות להיחתך זו עם זו באופן טריוויאלי, ולכן יש בהן $ 7\cdot (3-1)=14 $ איברים מסדר $ 3 $. באופן דומה יש $ 84 $ איברים מסדר $ 5 $ ו-$ 90 $ מסדר $ 7 $. ביחד יותר מ-$ 105 $, וזה בלתי אפשרי.
הוכחות
למשפטי סילו יש הוכחות רבות, למשל באינדוקציה על הסדר של $ G $. ההוכחה שנציג כאן מבוססת על הפעולה של $ G $ על קבוצות מסוימות, והיא מיוחסת לנתן ג'ייקובסון.
הוכחת המשפט הראשון. נסמן ב-$ X $ את אוסף כל תת-הקבוצות בגודל $ p^{n} $ של $ G $. מכיוון ש-$ |X|={|G| \choose p^{n}}={p^{n}m \choose p^{n}} $, קל לחשב ש-$ p $ אינו מחלק את העוצמה של $ X $. החבורה פועלת על $ X $ על ידי כפל משמאל: $ g\colon B\mapsto gB=\{gb:b\in B\} $.
מכיוון שהגודל של $ X $ אינו מתחלק ב-$ p $, מוכרח להיות מסלול תחת הפעולה של $ G $, שגודלו אינו מתחלק ב-$ p $. תהי $ B\in X $ נקודה באותו מסלול; נבחר $ b\in B $, אז גם $ b^{-1}B $ היא נקודה באותו המסלול, והיא מכילה את איבר היחידה של $ G $. לכן אפשר להניח ש- $ 1\in B $. מצד אחד, המייצב של $ B $ מוכל ב-$ B $ (שהרי $ x\in xB=B $), ולכן גודלו $ p^{n} $ לכל היותר. מצד שני, האינדקס של המייצב מחלק את $ p^{n}m $, אבל הוא שווה לגודל המסלול, ולכן זר ל-$ p $ ומחלק את $ m $. יחד נובע מכאן שגודל המייצב שווה בדיוק ל-$ p^{n} $, ואם כך הוא שווה ל-$ B $; אבל אז $ B $ היא חבורת $ p $-סילו.
כעת נסמן ב-$ S $ את אוסף חבורות p-סילו של $ G $; המשפט הראשון טוען ש-$ S $ אינה ריקה. החבורה $ G $ פועלת על $ S $ לפי הצמדה.
טענה. אם תת-קבוצה $ T $ של $ S $ סגורה תחת הפעולה, אז גודלה שקול ל-$ 1 $ מודולו $ p $.
הוכחה. ברור שכל חבורת $ p $-סילו היא תת-חבורת-$ p $ מקסימלית. לכן, אם $ P,Q $ שתיהן חבורות p-סילו, אז $ PQ $ אינה תת-חבורה של $ G $ (אחרת סדרה היה שווה ל- $ {\frac {|P|\cdot |Q|}{|P\cap Q|}} $, וזו חזקת-$ p $ גדולה מדי). מכאן יוצא ש-$ Q $ אינה יכולה לנרמל את $ P $ (אחרת $ PQ=QP $ היא תת-חבורה).
כעת תהי $ P $ חבורת $ p $-סילו; בתור תת-חבורה של $ G $, גם $ P $ פועלת על $ S $ בהצמדה, ולכן היא פועלת גם על $ T $. גודלי המסלולים תחת הפעולה הזו מחלקים כמובן את הגודל של $ P $, ולכן הם כולם חזקות של $ p $. יש שני סוגים של מסלולים: אלה שגודלם $ 1 $, ואלה שגודלם מתחלק ב-$ p $. אם $ Q $ היא נקודה יחידה במסלול, אז $ P $ מנרמלת את $ Q $, וזה בלתי אפשרי - אלא אם $ Q=P $. כלומר, יש רק מסלול אחד שגודלו $ 1 $, והוא המסלול המכיל את $ P $ בלבד. גודלי שאר המסלולים מתחלקים ב-$ p $, ולכן סכום הגדלים של כל המסלולים (שהוא כמובן הגודל של $ T $) שקול ל-$ 1 $ מודולו $ p $.
הוכחת המשפט השלישי. מספיק לבחור $ T=S $ בטענה.
הוכחת המשפט השני. לפי הטענה, הגודל של כל מסלול שקול ל-$ 1 $ מודולו $ p $. אבל כך גם עבור האיחוד של שני מסלולים, אילו היו כאלה, וזה כמובן בלתי אפשרי. מכאן שיש בפעולה רק מסלול אחד, ובמלים אחרות זוהי פעולה טרנזיטיבית.
קישורים חיצוניים
- משפטי סילו, באתר MathWorld (באנגלית)
משפטי סילו36041945Q1057919