חבורת תומפסון

בתורת החבורות, חבורת תומפסון היא חבורה של העתקות שומרות כיוון וליניאריות למקוטעין של קטע היחידה, המדגימה מספר תופעות מעניינות.

הגדרה

מסמנים ב-${\mathrm{PL}}^{+}[0,1]$ את חבורת ההומיאומורפיזמים שומרי הכיוון הליניאריים למקוטעין של קטע היחידה. חבורת תומפסון היא תת-החבורה של ${\mathrm{PL}}^{+}[0,1]$ (מקובל גם הסימון F) הכוללת את ההעתקות שנקודות הקצה של הקטעים הליניאריים שלהן הן מספרים דיאדיים, והשיפועים של הקטעים האלה הם חזקות (חיוביות או שליליות) של 2. מסלולי הפעולה של F על קטע היחידה מאופיינים בזנבות ההצגה הדיאדית (שני מספרים נמצאים באותו מסלול אם ורק אם יש להם אותו זנב).

את אברי החבורה מקובל לתאר באמצעות זוג עצים בינאריים המקודדים את ההומיאומורפיזם, או באמצעות טריאנגולציות (עם צלעות שהן ישרים או חצאי מעגלים) של המעגל.

תכונות

לחבורת תומפסון יש הצגה סופית, עם יוצרים a,b, והיחסים $[a{b}^{-1},a^{-1}ba]=[a{b}^{-1},a^{-2}b{a}^2]=1$. אפשר להציג אותה באמצעות האיברים $x_0=a$ ו-$x_n=a^{1-n}b{a}^{n-1}$, עם היחסים $x_i^{-1}{x}_n{x}_i=x_{n+1}$ לכל $i<n$.

חבורת תומפסון היא חסרת פיתול. היא אינה מקיימת אף זהות, אך גם אינה מכילה תת-חבורה (לא אבלית) חופשית (היא כן מכילה חבורה למחצה חופשית). כל תת-חבורה שלה שאינה אבלית מדרגה סופית, מכילה תת-חבורה אבלית מדרגה אינסופית. חבורת תומפסון היא בעלת ממד קוהומולוגי אינסופי.

תת-חבורת הקומוטטורים 'F היא פשוטה. המנה 'F/F איזומורפית ל-Z^2.

השאלה האם חבורת תומפסון היא חבורה אמנבילית עודנה פתוחה.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

חבורת תומפסון41110939Q4150777