זהות קפלי

בתורת החוגים, זהות קפלי היא הזהות $c_n=0$, כאשר $c_n=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )x_{\sigma (1)}{y}_1{x}_{\sigma (2)}{y}_2\cdots x_{\sigma (n)}{y}_n$ הוא פולינום קפלי ב-$2n$ משתנים. כל אלגברה מממד קטן מ-$n$ מקיימת את הזהות $c_n=0$. התפקיד המרכזי של זהויות קפלי בתורת החוגים עם זהויות ("חוגי-PI") נובע מכך שכל אלגברת PI אפינית מקיימת זהות קפלי כלשהי; ובנוכחות זהות קפלי $c_n=0$, כל זהות שקולה למסקנות שלה בפחות מ-$n$ משתנים.

הזהות $c_n=0$ נובעת מן הזהות $c_{n-1}=0$, כך שהתנאי $c_n=0$ הולך ונעשה חלש כאשר $n$ גדל. באלגברה עם יחידה $c_1\ne 0$, ו-$c_2=0$ אם ורק אם האלגברה קומוטטיבית. פולינום $f$ נקרא $n$-מתחלף אם לכל $1\le i,j\le n$ מתקיים $f(...,x_i,...,x_j,...)=-f(...,x_j,...,x_i,...)$. פולינום קפלי ה-$n$-י הוא $n$-מתחלף; וכזהות, הוא הפולינום ה-$n$-מתחלף הכללי ביותר: $c_n=0$ היא זהות של האלגברה $A$, אם ורק אם כל פולינום $n$-מתחלף הוא זהות של $A$. לדוגמה, את הזהות הסטנדרטית $s_n=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )x_{\sigma (1)}\cdots x_{\sigma (n)}$ אפשר להסיק מהזהות $c_n$ על ידי ההצבה $y_i\mapsto 1$ (והיא אכן n-מתחלפת). אלגברת המטריצות $M_n(F)$ (מעל שדה $F$) מקיימת את זהות קפלי $c_{n^2+1}$, אבל לא את הזהות $c_{n^2}$. האלגברה $M_n(R)$ מקיימת את $c_{n^2+1}$ אם ורק אם $R$ קומוטטיבי.

אם $A$ אלגברה מעל שדה $F$ ממאפיין 0, אפשר ללמוד את תורת ההצגות שלה בעזרת מרחב הקו-קרקטרים ${\chi }_n(A)=V_n/(V_n\cap \mathrm{id}(A))$ (כאשר $V_n$ הוא מרחב הפולינומים המולטילינאריים במשתנים $x_1,\dots ,x_n$), שהם מודולים מעל החבורות הסימטריות $S_n$ על ידי פעולת ההצבה. תורת ההצגות של החבורה הסימטרית ממיינת את ההצגות האי-פריקות האלה, ומאפשרת להוכיח את המשפט הבא: אלגברה $A$ מקיימת את זהות קפלי $c_m$ אם ורק אם דיאגרמת יאנג של כל תת-הצגה אי-פריקה של ${\chi }_n(A)$ היא בעלת פחות מ-m שורות.

קמר הוכיח שבמאפיין חיובי, כל אלגברת-PI מקיימת זהות קפלי. הוא הראה גם שבמאפיין 0, כל אלגברת-PI אפינית מקיימת זהות כזו. אלגברת גרסמן היא דוגמה לאלגברה לא אפינית, במאפיין 0, שאינה מקיימת אף זהות קפלי. במאפיין 0, לכל $n$ קיימת זהות קפלי $c_m$ הנובעת מן הזהות הסטנדרטית $s_n$.

אלגברה אפינית מעל שדה מקיימת זהות קפלי (כלשהי) אם ורק אם הרדיקל שלה הוא נילפוטנטי. עובדה זו מוליכה לאחד המשפטים החשובים בתורת הזהויות, משפט רזמיסלוב-קמר-בראון, שלפיו הרדיקל של כל אלגברת-PI אפינית הוא נילפוטנטי.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

זהות קפלי28293657