התפלגות דיריכלה

התפלגות דיריכלה
	פונקציית צפיפות ההסתברות
מאפיינים
פרמטרים	K≥2 מספר הקטגוריות (מספר שלם); α=(α1,…,αK) פרמטרים של ריכוז, כאשר αi>0
תומך	x1,…,xK where xi∈[0,1] and ∑i=1Kxi=1
פונקציית צפיפות הסתברות; (pdf)	1B(α)∏i=1Kxiαi−1; where B(α)=∏i=1KΓ(αi)Γ(α0); where α0=∑i=1Kαi
תוחלת	=E⁡[Xi]=αiα0; E⁡[ln⁡Xi]=ψ(αi)−ψ(α0); (כאשר ψ היא פונקציית דיגמה)
ערך שכיח	xi=αi−1α0−K,αi>1.
שונות	Var⁡[Xi]=α~i(1−α~i)α0+1, Cov⁡[Xi,Xj]=δijα~i−α~iα~jα0+1 ; כאשר α~i=αiα0, ו- δij היא הדלתא של קרונקר
אנטרופיה	H(X)=log⁡B(α)+(α0−K)ψ(α0)−∑j=1K(αj−1)ψ(αj); כאשר α0 מוגדר כמו בשונות, למעלה; ו- ψ היא פונקציית דיגמה
פונקציה יוצרת מומנטים; (mgf)	αi=E[Xi](E[Xj](1−E[Xj])V[Xj]−1) where j is any index, possibly i itself

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות דיריכלה (על שם Peter Gustav Lejeune Dirichlet ), מסומנת לעיתים קרובות $Dir (α)$ , היא משפחה של התפלגויות רב-משתניות רציפות המוגדרות על ידי וקטור $α$ של ממשיים חיוביים. זוהי הכללה רב-משתנית של התפלגות ביתא,^[1] ומכאן שמה החלופי - התפלגות בטא רב-משתנית (MBD). ^[2] התפלגות Dirichlet משמשת בדרך כלל כהתפלגות פריורית בסטטיסטיקה בייסיאנית, ולמעשה, התפלגות Dirichlet היא ההתפלגות הצמודה של ההתפלגות הקטגוריאלית וההתפלגות המולטינומית.

ההכללה האינסוף-ממדית של התפלגות דיריכלה היא תהליך דיריכלה.

הגדרות

להתפלגות דיריכלה מסדר $K \geq 2$ עם פרמטרים $0 < α_{1}, . . . α_{K}$ , יש פונקציית צפיפות, לפי למידת לבג במרחב האוקלידי $ℝ^{K - 1}$ , המתוארת באמצעות:

f (x_{1}, \dots, x_{K}; α_{1}, \dots, α_{K}) = \frac{1}{B (α)} \prod_{i = 1}^{K} x_{i}^{α_{i} - 1}

כאשר

{x_{k}}_{k = 1}^{k = K}

שייכים לסימפלקס

K - 1

תקני, או באופן שקול, לכל

i \in {1, \dots, K}

,

\sum_{i = 1}^{K} x_{i} = 1, x_{i} \in [0, 1]

.

הקבוע המנרמל הוא פונקציית בטא רב-משתנית, שניתן לבטאו במונחים של פונקציית גמא :

B (α) = \frac{\prod_{i = 1}^{K} Γ (α_{i})}{Γ (\sum_{i = 1}^{K} α_{i})}, α = (α_{1}, \dots, α_{K})

מדיה וקבצים בנושא התפלגות דיריכלה בוויקישיתוף

↑ S. Kotz; N. Balakrishnan; N. L. Johnson (2000). Continuous Multivariate Distributions. Volume 1: Models and Applications. New York: Wiley. ISBN 978-0-471-18387-7. (Chapter 49: Dirichlet and Inverted Dirichlet Distributions)
↑ Olkin, Ingram; Rubin, Herman (1964). "Multivariate Beta Distributions and Independence Properties of the Wishart Distribution". The Annals of Mathematical Statistics. 35 (1): 261–269. doi:10.1214/aoms/1177703748. JSTOR 2238036.

התפלגות דיריכלה38156061Q981016

מאפיינים
פונקציית צפיפות ההסתברות

פרמטרים	$K \geq 2$ מספר הקטגוריות (מספר שלם) $α = (α_{1}, \dots, α_{K})$ פרמטרים של ריכוז, כאשר $α_{i} > 0$
תומך	$x_{1}, \dots, x_{K}$ where $x_{i} \in [0, 1]$ and $\sum_{i = 1}^{K} x_{i} = 1$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	$\frac{1}{B (α)} \prod_{i = 1}^{K} x_{i}^{α_{i} - 1}$ where $B (α) = \frac{\prod_{i = 1}^{K} Γ (α_{i})}{Γ (α_{0})}$ where $α_{0} = \sum_{i = 1}^{K} α_{i}$
תוחלת	= $E [X_{i}] = \frac{α_{i}}{α_{0}}$ $E [\ln X_{i}] = ψ (α_{i}) - ψ (α_{0})$ (כאשר $ψ$ היא פונקציית דיגמה)
ערך שכיח	$x_{i} = \frac{α_{i} - 1}{α_{0} - K}, α_{i} > 1 .$
שונות	$Var [X_{i}] = \frac{{\tilde{α}}_{i} (1 - {\tilde{α}}_{i})}{α_{0} + 1},$ $Cov [X_{i}, X_{j}] = \frac{δ_{i j} {\tilde{α}}_{i} - {\tilde{α}}_{i} {\tilde{α}}_{j}}{α_{0} + 1}$ כאשר ${\tilde{α}}_{i} = \frac{α_{i}}{α_{0}}$ , ו- $δ_{i j}$ היא הדלתא של קרונקר
אנטרופיה	$H (X) = \log B (α)$ $+ (α_{0} - K) ψ (α_{0}) -$ $\sum_{j = 1}^{K} (α_{j} - 1) ψ (α_{j})$ כאשר $α_{0}$ מוגדר כמו בשונות, למעלה; ו- $ψ$ היא פונקציית דיגמה
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$α_{i} = E [X_{i}] (\frac{E [X_{j}] (1 - E [X_{j}])}{V [X_{j}]} - 1)$ where $j$ is any index, possibly $i$ itself