השערת קתה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

השערת קֶתֶה היא השערה מפורסמת בתורת החוגים העוסקת באידיאלים ניליים. את ההשערה העלה המתמטיקאי האוסטרי גוטפריד קתה (Gottfried Köthe‏; 1989-1905) ב-1930; אף על פי שהיא פתורה בכמה מקרים חשובים, ההשערה עדיין פתוחה באופן כללי.

השערת קתה

תכונות של חוג R ושל חוג הפולינומים מעליו (ראו הסבר בגוף הטקסט).

השערת קתה שואלת האם בכל חוג (אסוציאטיבי):

  • האידיאל הדו-צדדי הנוצר על ידי אידיאל שמאלי נילי, הוא בעצמו נילי.

השערה זו שקולה לכל אחת מההשערות הבאות:

  • הסכום של שני אידיאלים שמאליים ניליים הוא נילי.
  • אם בחוג אין אידיאל נילי (דו-צדדי), אז אין בו אידיאל נילי חד-צדדי.
  • לכל חוג R מתקיים N(R)=N(R), כאשר N(R) הוא סכום האידיאלים הניליים (=הרדיקל הנילי העליון) ו-N(R) הוא סכום האידיאלים השמאליים הניליים (=רדיקל קתה).
  • לכל חוג נילי, גם חוג המטריצות M2(R) נילי.
  • לכל חוג נילי R, חוג הפולינומים R[x] קוואזי-הפיך (כלומר שווה לרדיקל ג'ייקובסון של עצמו; ידוע שחוג הפולינומים של חוג נילי שווה לרדיקל בראון-מק'קוי של עצמו).
  • אם J(R[x])=0 אז N(R)=0.
  • אם R חוג נילי אז R[x] איננו פרימיטיבי.

השקילות לניסוח האחרון נובעת ממשפט של Smoktunowicz, לפיו אידיאלים פרימיטיביים בחוגי פולינומים מעל חוגים ניליים הם הומוגניים. עם זאת, יצוין כי קיים חוג R השווה לרדיקל ג'ייקובסון של עצמו, אך חוג הפולינומים מעליו פרימיטיבי. בדיאגרמה משמאל, השערת קתה (בגרסה "אם R נילי אז חוג הפולינומים מעליו נילי"), עם תוצאות קרובות. הרדיקלים המופיעים בדיאגרמה הם הרדיקל של ג'ייקובסון, רדיקל Behrnes השווה לחיתוך הגרעינים של הומומורפיזמים לחוגים עם אידמפוטנט, ורדיקל בראון-מקוי. החץ בירוק: השערת קתה. החצים המרוסקים מתארים גרירות טריוויאליות. החצים בכחול, משפטים (מלמעלה למטה: תוצאות של עמיצור, של Beidar-Fong-Puczylowsi 2001 ושל סמוקטונוביץ' 1999). החצים באדום: גרירות שאינן נכונות (הבניה של חוג נילי שחוג הפולינומים מעליו אינו נילי היא של סמוקטונוביץ' 2000).

הגרסה הלא-אסוציאטיבית של השערת קתה אינה נכונה: באלגברה הלא-אסוציאטיבית הנוצרת על ידי שני איברים x,y תחת היחסים: xy=y,yx=x,x2=y2=0, האיברים x ו-y יוצרים אידיאלים שמאליים ניליים, אך סכומם אינו נילי.

מקרים שבהם ההשערה מתקיימת

השערת קתה מתקיימת בחוג R אם לכל אידיאל נילי שמאלי L, האידיאל הדו-צדדי L+LR הוא נילי. השערת קתה מתקיימת בחוגים מהמהחלקות הבאות:

  • בחוגים נתריים (לפי משפט הופקינס-לויצקי: בחוג נתרי, כל אידיאל חד-צדדי נילי הוא נילפוטנטי).
  • בכל חוג עם זהויות N(R)=Nil*(R)[1] (בחוג עם זהויות הנוצר סופית מעל חוג קומוטטיבי נתרי, אפילו Jac(R)=Nil*(R), משפט Razmyslov-Kemer-Braun).
  • בחוגים שבהם רדיקל ג'ייקובסון נילי (משום שכל אידיאל שמאלי נילי מוכל ברדיקל ג'ייקובסון). תכונה זו מתקיימת במקרים הבאים (שאת כולם הוכיח עמיצור):
    • באלגברה אלגברית מעל שדה;
    • באלגברה R שממדה מעל F קטן ממש מהעוצמה של F;
    • בחוג R[x] אם R היא אלגברה מעל שדה שאינו בן-מניה (בהקשר זה ראוי לציין שמעל כל שדה בן-בניה, יש אלגברה נילית R כך ש-J(R[x])=R[x] אינו נילי; סמוקטונוביץ', 2000).
  • באלגברה מונומיאלית נוצרת סופית (משום שרדיקל ג'ייקובסון הוא נילפוטנטי מקומית, Beidar and Fong, 1998).

לפי משפט של עמיצור, רדיקל ג'ייקובסון של כל חוג R[x] הוא מהצורה I[x] כאשר I אידיאל נילי. מכאן שאם R הוא חוג שאין בו אידיאלים ניליים, אז J(R[x])=0.

מקורות

  • On some results related to Koethe's conjecture, A. Smoktunowicz, Serdica Math J 27 (2000), 159--170.
  • The Concise Handbook of Algebra, C.18.
  • A. Smoktunoicz, Primitive Ideals in Polynomial Rings over Nil Rings. Algebras and Representation Theory, March 2005, Volume 8, Issue 1, pp 69-73

הערות שוליים

  1. McConnel and Robson, 13.2.6
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

השערת קתה33043615Q6454025