הרחבת חוג

באלגברה, הרחבת חוג של חוג R על ידי חבורה חילופית I היא זוג ( E, $\varphi$ ) המורכב מחוג E והומומורפיזם חוגי $\varphi$ שמתאים לרצף המדויק הקצר של חבורות חילופיות:

$0\to I\to E\stackrel{\varphi }{\to }R\to 0.$

יש לזכור כי I הוא אז אידיאל דו צדדי של E. בהינתן חוג חילופי A, הרחבת-A מוגדרת באותו אופן על ידי החלפת "חוג" עם " אלגברה על A" ו "חבורה חילופית" עם "מודול - A ".

נאמר כי הרחבה היא טריוויאלית אם $\varphi$ מתפצל; כְּלוֹמַר, $\varphi$ נותן קטע שהוא הומומורפיזם .

מורפיזם בין הרחבות R על ידי I, על, לדוגמה, A, הוא הומומורפיזם אלגברה E → E ' המשרה את הזהויות ב- I ו- R. לפי למת החמישה, מורפיזם כזה הוא בהכרח איזומורפיזם, ולכן שתי הרחבות שוות ערך אם יש מורפיזם ביניהן.

דוגמאות

דוגמה 1

בוא ניקח את החוג $\mathbb{\mathbb{Z}}$ של מספרים שלמים ובוא ניקח את הקבוצה החילופית ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_2$ (תחת חיבור) של מספרים בינאריים. ניקח E = $\mathbb{\mathbb{Z}}\oplus {\mathbb{\mathbb{Z}}}_2$, אנו יכולים להגדיר כפל על E באמצעות $(x,a)\cdot (y,b)=(xy,\varphi (x)a+\varphi (y)b)$ (כאשר $\varphi :\mathbb{\mathbb{Z}}\to {\mathbb{\mathbb{Z}}}_2$ הוא הומומורפיזם הממפה מספרים זוגיים ל-0 ומספרים אי-זוגיים ל-1). זה נותן את הרצף המדויק הקצר

$0\to \mathbb{\mathbb{Z}}\to E\stackrel{p}{\to }\mathbb{\mathbb{Z}}\to 0$

איפה p הוא ההומומורפיזם $(x,a)\mapsto a\varphi (x)$ .

דוגמה 2

כך את R להיות חוג חילופי ו- M להיות מודול-R. תן E = R ⊕ M להיות הסכום הישיר של חבורות חילופיות. הגדר את הכפל ב- E על ידי

$(a,x)\cdot (b,y)=(ab,ay+bx).$

אפשר לזהות את ( a, x ) עם a + εx כאשר ε בריבוע הוא אפס וכשמפשטים את ( a + εx ) ( b + εy ) מניבה את הנוסחה שלעיל; בפרט אנו רואים כי E הוא חוג. לאחר מכן יש לנו את הרצף המדויק הקצר

$0\to M\to E\stackrel{p}{\to }R\to 0$

כאשר p ההקרנה. לפיכך, E הוא הרחבה של R על ידי M. תכונה מעניינת אחת של בנייה זו היא שהמודול M הופך לאידיאל של חוג חדש כלשהו. ב"local rings" שלו, נגאטה מכנה תהליך זה כעקרון האידיאליזציה .

קישורים חיצוניים

• E. Sernesi: דפורמציות של סכימות אלגבריות
• הרחבת חוג, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

הרחבת חוג34153096Q1166643