הפרש (תורת הקבוצות)

דיאגרמת ון של הקבוצה A-B

בתורת הקבוצות, הפרש של שתי קבוצות A ו- B הוא הקבוצה שמכילה את כל איברי A שלא שייכים ל- B. קבוצה זו מסומנת ב $\ A-B$ או $\ A\setminus B$:

$\ A-B=\left\{x\ |\ x\in A,x\notin B\right\}$

פעולה ההפרש איננה קיבוצית או חילופית. פעולת ההפרש מקבילה ל"וגם לא" הלוגי. (מדובר באוסף האיברים השייכים לקבוצה $\ A$ ולא שייכים לקבוצה $\ B$)

דוגמה

יהיו:

$\mathbb {N}$ - קבוצת המספרים הטבעיים

$\mathbb {N} _{\text{even}}$ - קבוצת המספרים הטבעיים הזוגיים

$\mathbb {N} _{\text{odd}}$ - קבוצת המספרים הטבעיים האי-זוגיים

אזי:

$\mathbb {N} -\mathbb {N} _{\text{even}}=\mathbb {N} _{\text{odd}}$

$\mathbb {N} -\mathbb {N} _{\text{odd}}=\mathbb {N} _{\text{even}}$

$\mathbb {N} _{\text{odd}}-\mathbb {N} _{\text{even}}=\mathbb {N} _{\text{odd}}$

תכונות

$C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)$

$C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)$

$C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B)$

$(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)$

$(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)$

$A\setminus A=\emptyset$

$\emptyset \setminus A=\emptyset$

$A\setminus \emptyset =A$

$A\setminus U=\emptyset$