הפרש (תורת הקבוצות)

דיאגרמת ון של הקבוצה A-B

בתורת הקבוצות, הפרש של שתי קבוצות A ו- B הוא הקבוצה שמכילה את כל איברי A שלא שייכים ל- B. קבוצה זו מסומנת ב $A-B$ או $A\setminus B$:

$A-B=\{x|x\in A,x\notin B\}$

פעולה ההפרש איננה קיבוצית או חילופית. פעולת ההפרש מקבילה ל"וגם לא" הלוגי. (מדובר באוסף האיברים השייכים לקבוצה $A$ ולא שייכים לקבוצה $B$)

דוגמה

יהיו:

$\mathbb{\mathbb{N}}$ - קבוצת המספרים הטבעיים

${\mathbb{\mathbb{N}}}_{\text{even}}$ - קבוצת המספרים הטבעיים הזוגיים

${\mathbb{\mathbb{N}}}_{\text{odd}}$ - קבוצת המספרים הטבעיים האי-זוגיים

אזי:

$\mathbb{\mathbb{N}}-{\mathbb{\mathbb{N}}}_{\text{even}}={\mathbb{\mathbb{N}}}_{\text{odd}}$

$\mathbb{\mathbb{N}}-{\mathbb{\mathbb{N}}}_{\text{odd}}={\mathbb{\mathbb{N}}}_{\text{even}}$

${\mathbb{\mathbb{N}}}_{\text{odd}}-{\mathbb{\mathbb{N}}}_{\text{even}}={\mathbb{\mathbb{N}}}_{\text{odd}}$

תכונות

$C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)$

$C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)$

$C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B)$

$(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)$

$(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)$

$A\setminus A=\mathrm{\varnothing }$

$\mathrm{\varnothing }\setminus A=\mathrm{\varnothing }$

$A\setminus \mathrm{\varnothing }=A$

$A\setminus U=\mathrm{\varnothing }$

הפרש_(תורת_הקבוצות)26960856Q845126