דל במערכות צירים שונות

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באנליזה וקטורית ניתן לכתוב אופרטורים שונים, הקשורים לאופרטור דל (המסומל באמצעות הסימן נבלה), בדרכים שונות במערכות צירים שונות.

הערה: הנוסחאות שבדף זה כתובות לפי הכתיב הפיזיקלי המקובל. בקואורדינטות כדוריות, θ היא הזווית בין ציר z ווקטור הרדיוס המחבר את הראשית עם הנקודה בה עוסקים. ϕ היא הזווית בין היטל וקטור הרדיוס על מישור x-y, ובין ציר x.

קואורדינטות קרטזיות (x,y,z) קואורדינטות גליליות (ρ,φ,z) קואורדינטות כדוריות (r,θ,φ) קואורדינטות גליליות פרבוליות (σ,τ,z)
הגדרת
מערכת
הצירים
ρ=x2+y2ϕ=arctan(y/x)z=z x=ρcosϕy=ρsinϕz=z x=rsinθcosϕy=rsinθsinϕz=rcosθ x=στy=12(τ2σ2)z=z
r=x2+y2+z2θ=arctan(x2+y2z)ϕ=arctan(y/x) ρ=rsin(θ)ϕ=ϕz=rcos(θ) r=x2+y2+z2θ=arctan(x2+y2z)ϕ=arctan(y/x) ρcosϕ=στρsinϕ=12(τ2σ2)z=z
הגדרת
וקטורי
היחידה
ρ^=xρx^+yρy^ϕ^=yρx^+xρy^z^=z^ x^=cosϕρ^sinϕϕ^y^=sinϕρ^+cosϕϕ^z^=z^ x^=sinθcosϕr^+cosθcosϕθ^sinϕϕ^y^=sinθsinϕr^+cosθsinϕθ^+cosϕϕ^z^=cosθr^sinθθ^ σ^=ττ2+σ2x^στ2+σ2y^τ^=στ2+σ2x^+ττ2+σ2y^z^=z^
r^=xx^+yy^+zz^rθ^=xzx^+yzy^ρ2z^rρϕ^=yx^+xy^ρ ρ^=sinθr^+cosθθ^ϕ^=ϕ^z^=cosθr^sinθθ^ r^=ρrρ^+zrz^θ^=zrρ^ρrz^ϕ^=ϕ^
שדה וקטורי 𝐀 Axx^+Ayy^+Azz^ Aρρ^+Aϕϕ^+Azz^ Arr^+Aθθ^+Aϕϕ^ Aσσ^+Aττ^+Aϕz^
גרדיאנט f fxx^+fyy^+fzz^ fρρ^+1ρfϕϕ^+fzz^ frr^+1rfθθ^+1rsinθfϕϕ^ 1σ2+τ2fσσ^+1σ2+τ2fττ^+fzz^
דיברגנץ 𝐀 Axx+Ayy+Azz 1ρ(ρAρ)ρ+1ρAϕϕ+Azz 1r2(r2Ar)r+1rsinθθ(Aθsinθ)+1rsinθAϕϕ 1σ2+τ2Aσσ+1σ2+τ2Aττ+Azz
קרל (רוטור) ×𝐀 (AzyAyz)x^+(AxzAzx)y^+(AyxAxy)z^  (1ρAzϕAϕz)ρ^+(AρzAzρ)ϕ^+1ρ((ρAϕ)ρAρϕ)z^  1rsinθ(θ(Aϕsinθ)Aθϕ)r^+1r(1sinθArϕr(rAϕ))θ^+1r(r(rAθ)Arθ)ϕ^  (1σ2+τ2AzτAτz)σ^(1σ2+τ2AzσAσz)τ^+1σ2+τ2((ρAϕ)ρAρϕ)z^ 
לפלסיאן Δf=2f 2fx2+2fy2+2fz2 1ρρ(ρfρ)+1ρ22fϕ2+2fz2 1r2r(r2fr)+1r2sinθθ(sinθfθ)+1r2sin2θ2fϕ2 1σ2+τ2(2fσ2+2fτ2)+2fz2
לפלסיאן וקטורי Δ𝐀=2𝐀 ΔAxx^+ΔAyy^+ΔAzz^ (ΔAρAρρ22ρ2Aϕϕ)ρ^+(ΔAϕAϕρ2+2ρ2Aρϕ)ϕ^+(ΔAz)z^  (ΔAr2Arr22r2sinθ(Aθsinθ)θ2r2sinθAϕϕ)r^+(ΔAθAθr2sin2θ+2r2Arθ2cosθr2sin2θAϕϕ)θ^+(ΔAϕAϕr2sin2θ+2r2sinθArϕ+2cosθr2sin2θAθϕ)ϕ^
העתק אינפיניטסימלי d𝐥=dxx^+dyy^+dzz^ d𝐥=dρρ^+ρdϕϕ^+dzz^ d𝐥=drr^+rdθθ^+rsinθdϕϕ^ d𝐥=σ2+τ2dσσ^+σ2+τ2dττ^+dzz^
וקטור שטח אינפיניטסימלי d𝐒=dydzx^+dxdzy^+dxdyz^ d𝐒=ρdϕdzρ^+dρdzϕ^+ρdρdϕz^ d𝐒=r2sinθdθdϕr^+rsinθdrdϕθ^+rdrdθϕ^ d𝐒=σ2+τ2,dτdzσ^+σ2+τ2dσdzτ^+σ2+τ2dσ,dτz^
יחידת נפח אינפיניטסימלית dV=dxdydz dV=ρdρdϕdz dV=r2sinθdrdθdϕ dV=(σ2+τ2)dσdτdz,
כללים חשובים:
  1. div grad f=(f)=2f=Δf (לפלסיאן)
  2. curl grad f=×(f)=𝟎
  3. div curl 𝐀=(×𝐀)=0
  4. curl curl 𝐀=×(×𝐀)=(𝐀)2𝐀
  5. Δfg=fΔg+2fg+gΔf
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

דל במערכות צירים שונות22378235Q2605462