בעיית לנגלי

בעיית לנגלי.

בשעשועי מתמטיקה, בעיית לנגלי היא חידה במסגרתה צריך להסיק באופן גאומטרי סינתטי זווית מסוימת בתרשים גאומטרי מזוויות נתונות אחרות בתרשים. החידה הוצעה על ידי אדוארד מאן לנגלי במגזין המתמטי The Mathematical Gazette, בשנת 1922.

הבעיה

בגרסתה המקורית הבעיה הוצגה באופן הבא:

$ABC$ הוא משולש שווה-שוקיים עם זוויות בסיס $\angle {CBA}=\angle {ACB}=80^{\circ }$.

$CF$ נטוי ביחס ל-$AC$ בזווית $30^{\circ }$ וחותך את $AB$ בנקודה $F$.

$BE$ נטוי ביחס ל-$AB$ בזווית $20^{\circ }$ וחותך את $AC$ בנקודה $E$.

הוכח ש-$\angle {BEF}=30^{\circ }$.

מכיוון שניתן להסיק את הזווית המבוקשת בקלות יחסית באמצעות תהליך חישובי המתבסס על משפטים טריגונומטריים, עיקר הקושי בפתרון חידת לנגלי הוא במתן פתרון סינתטי בעל פשטות מרבית, שאינו עושה שימוש בטריגונומטריה.

הפתרון

פתרון לבעיית המשולש 80-80-20 של לנגלי.

הבעיה של חישוב הזווית $\angle {BEF}$ היא דוגמה סטנדרטית לבעיית הנסן בגיאודזיה. חישובים טריגונומטריים יכולים להראות שזווית $\angle {BEF}$ היא $30^{\circ }$ בכל רמת דיוק שנרצה, אך מכיוון שלמכשיר החישוב דיוק סופי, הם עדיין מותירים ספק לגבי ערכה המדויק.

הוכחה ישירה באמצעים גאומטריים קלאסיים בלבד פותחה בידי ג'יימס מרסר ב-1923. הפתרון שלו מערב בניית עזר של קו ישר נוסף, ואז שימוש חוזר בעובדה שסכום הזוויות במשולש הוא 180° כדי להראות שכמה מהמשולשים המשורטטים הם כולם שווי שוקיים.

שרטטו קו ישר $BG$ בזווית $20^{\circ }$ ביחס לבסיס $BC$ החותך את $AC$ בנקודה $G$ ושרטטו את $FG$ (ראו איור משמאל).

מכיוון ש-$\angle {BCG}=80^{\circ }$ ו-$\angle {CBG}=20^{\circ }$ אז $\angle {BGC}=80^{\circ }$ ומשולש $BCG$ הוא גם שווה-שוקיים עם $BC=BG$.

מכיוון ש-$\angle {BCF}=50^{\circ }$ ו-$\angle {CBF}=80^{\circ }$ אז $\angle {BFC}=50^{\circ }$ ומשולש $BCF$ הוא שווה-שוקיים עם $BC=BF$.

מכיוון ש-$\angle {FBG}=60^{\circ }$ ו-$BF=BG$ אז משולש $BGF$ הוא שווה-צלעות.

מכיוון ש-$\angle {BGE}=100^{\circ }$ ו-$\angle {GBE}=40^{\circ }$ אז $\angle {GEB}=40^{\circ }$ ולכן משולש $BGE$ הוא שווה-שוקיים עם $GB=GE$.

לפיכך כל הקטעים האדומים באיור שווים.

כיוון ש-$GE=GF$, משולש $EFG$ הוא שווה-שוקיים עם $\angle {GEF}=70^{\circ }$.

לכן $\angle {BEF}=30^{\circ }$.

פתרונות סינתטיים רבים אחרים קיימים. רשימת Cut the Knot מונה כתריסר פתרונות שונים ומספר גרסאות חלופיות לבעיה.

הכללות

מרובע זוויות מיוחדות.

בעיית לנגלי זכתה לכינוי "בעיית הזוויות המיוחדות", משום שרק בעבור צירופים מיוחדים מסוימים של זוויות זה אפשרי בעבור כל הזוויות בתרשים להיות כפולה רציונלית של פאי. בדומה לכך, מרובע כמו BCEF ייקרא מרובע מיוחד כאשר הזוויות בין אלכסוניו וצלעותיו הן כולן זוויות רציונליות, כלומר זוויות המהוות מספר רציונלי של מעלות או כל יחידת זווית אחרת שעבורה מעגל שלם נמדד במספר יחידות רציונלי. מספר מרובעים מיוחדים מעבר למרובע המקורי של לנגלי נבנו במהלך השנים.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא בעיית לנגלי בוויקישיתוף

• Angular Angst, MathPages.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

37789113בעיית לנגלי