בעיית המומנטים

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת ההסתברות, בעיית המומנטים עוסקת בתנאים בהם התפלגות נקבעת ביחידות על ידי המומנטים (אנ') שלה. כלומר תחת אילו תנאים לסדרת מומנטים קיימת התפלגות אחת שמתאימה לה. לבעיית המומנטים מספר ניסוחים ומספר שימושים, ביניהם בתורת ההסתברות, אנליזה פונקציונלית וסטטיסטיקה.

הגדרה

בניסוח הקלאסי, בעיית המומנטים שואלת, בהינתן סדרה , האם קיימת מידה חיובית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} על הישר הממשי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} , כך ש־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_n=\int_{-\infty}^{\infty} x^n \,d\mu(x)} .

הבעיה למעשה עוסקת בקיום ויחידות של המידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} אבל במונחים של תורת ההסתברות. בעיית המומנטים שקולה לשאלה האם התפלגות נקבעת על פי המומנטים שלה.

ניסוח זה הנקרא גם בעיית המומנטים של המבורגר (Hamburger moment problem).

ניסוחים נוספים

לבעיית המומנטים ניסוחים נוספים הנבדלים בתומך של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_n=\int_{0}^{\infty} x^n \,d\mu(x)}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_n=\int_{0}^{1} x^n \,d\mu(x)} [1]

תנאים לקיום מידה

בניסוח הקלאסי

עבור סדרת מומנטים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{m_n\}_{n=1}^\infty} , התנאים ההבאים שקולים[2]:

  1. קיימת מידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} כך ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_n=\int_{-\infty}^{\infty} x^n \,d\mu(x)} .
  2. לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\in\mathbb{N}} ולכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_0,...,c_n\in\mathbb{R}} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i,j=0}^n m_i+jc_ic_j\geq 0} .
  3. לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\in\mathbb{N}} , המטריצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_n\in\mathbb{R}^{n\times n}} המוגדרת על ידי היא מטריצה חיובית.

בניסוח סטילטיס

עבור סדרת מומנטים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{m_n\}_{n=1}^\infty} , התנאים ההבאים שקולים[3]:

  1. קיימת מידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} כך ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_n=\int_{0}^{\infty} x^n \,d\mu(x)} .
  2. לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\in\mathbb{N}} ולכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_0,...,c_n\in\mathbb{R}} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i,j=0}^n m_i+jc_ic_j\geq 0} וגם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i,j=0}^n m_{i+1}+jc_ic_j\geq 0} .
  3. לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\in\mathbb{N}} , המטריצות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_n,H'_n\in\mathbb{R}^{n\times n}} המוגדרות על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (H_n)_{ij}=m_{i+j},(H'_n)_{ij}=m_{i+j+1}} הן מטריצות חיוביות.

בניסוח האוסדורף

הסדרה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{m_n\}_{n=1}^\infty} זו סדרת מומנטים בהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0,1]} אם לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k,n\in\mathbb{N}} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum^n_{j=0}(-1)^j{n\choose j}s_{k+j}\geq 0} .[4]

תנאים ליחידות המידה

בניסוח הקלאסי

המשפטים ההבאים מהווים תנאים ליחידות המידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} המקיימת את בעיית המומנטים הקלאסית:

  • תהיי מידת הסתברות, כך שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\in\mathbb{N}} , המומנט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_n=\int_{-\infty}^{\infty} x^n \,d\mu(x)} סופי. אם לטור חזקות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{m_nr^n}{n!}} יש רדיוס התכנסות חיובי עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} חיובי כלשהו אזי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} מידת ההסתברות היחיד בעל המומנטים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{m_n\}_{n=1}^\infty} .[5]
  • תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{m_n\}_{n=1}^\infty} סדרת מומנטים כך שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sup \frac{m_{2n}^\frac{1}{2n}}{2n}<\infty} אז קיימת לכל היותר פונקציית צפיפות אחת, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} , כך ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_n=\int_{-\infty}^{\infty} x^n \,d\mu(x)} .[6]

בניסוח האוסדורף

היחידות של המידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} בבעיית המומנטים בנוסח האוסדורף נובע ממשפט הקירוב של ויירשטראס.

רקע היסטורי

המונח בעיית המומנטום הופיע לראשונה בשנים 1894–1895, במאמרו של המתמטיקאי תומאס יוהאן סטילטיס. המאמר עסק בשברים משולבים ובין היתר, סטילטיס הציג ופתר בו את בעיית המומנטים בניסוח דומה לבעיית מומנטים סטילטיס אך התעסק רק בקיומו של המידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} ולא ביחידותו. במאמר, סטילטס טבע את השם 'מומנטים' מעולם המכניקה ממנו שאב השראה לפתרון בעיות אנליטיות שונות.

ב-1920, המתמטקאי הגרמני הנס המבורגר (Hans Hamburger), הרחיב את הבעיה לציר הממשי והציג תנאים מספקים והכרחים לקיום מידת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} מתאימה. בשונה לסטילטיס, המבורגר גם הציג תנאים מספקים והכרחים ליחידות הפתרון. המבורגר היה הראשון שהתייחב לבעיית המומנטים כתורה בפני עצמה וכיום, הניסוח שלו לבעיה ידוע בתור הניסוח הקלאסי.

בסמיכות לעבודותו של המבורגר, גם המתמטיקאים רולף נבנלינה, מרסל ריס, טורסטן קלרמן ופליקס האוסדורף פיתחו את בעיית המומנטים.[7]

ראו גם

לקיראה נוספת

  • Christian Berg, Indeterminate moment problems and the theory of entire functions, Journal of Computational and Applied Mathematics, Volume 65, Issues 1–3, 1995, Pages 27-55, ISSN 0377-0427,(1995) https://doi.org/10.1016/0377-0427(95)00099-2.
  • Lin, G.D. Recent developments on the moment problem. J Stat Distrib App 4, 5 (2017). https://doi.org/10.1186/s40488-017-0059-2
  • Akhiezer, Naum I. (1965). The classical moment problem and some related questions in analysis. New York: Hafner Publishing Co. (translated from the Russian by N. Kemmer)

הערות שוליים

  1. ↑ Schmüdgen, Konrad (2017). The Moment Problem. Springer Cham. p. 57.
  2. ↑ Schmüdgen, Konrad (2017). The Moment Problem. Springer Cham. p. 63.
  3. ↑ Schmüdgen, Konrad (2017). The Moment Problem. Springer Cham. p. 65.
  4. ↑ Schmüdgen, Konrad (2017). The Moment Problem. Springer Cham. p. 66.
  5. ↑ Billingsbey, Patrick (1995). Probability and Measure. New York: John Wiley and Sons. p. 388.
  6. ↑ Rick Durrett. Probability: theory and examples. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2010.
  7. ↑ Shohat, J. A. and J. D. Tamarkin. “The problem of moments.” (1943).
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

בעיית המומנטים40319996Q3406268

אוחזר מתוך "https://he.hamichlol.org.il/w/index.php?title=בעיית_המומנטים&oldid=3302294"