בור פוטנציאל אינסופי

בור פוטנציאל אינסופי הוא בור פוטנציאל המגדיר בעיה תאורטית בפיזיקה קוונטית הנקראת חלקיק בקופסה. בור פוטנציאל אינסופי מתואר על ידי אנרגיה פוטנציאלית קבועה (לרוב אפס) בקטע סופי מהמרחב, ואינסופית מחוצה לו. החלקיק שנמצא תחת פוטנציאל כזה תחום באזור סופי של המרחב ואיננו יכול לצאת ממנו, אף לא על ידי מינהור קוונטי. זאת, בניגוד לבור פוטנציאל סופי - אזור במרחב שבו האנרגיה הפוטנציאלית נמוכה יותר מאשר זו שמחוץ לו ולכן קיימת הסתברות למצוא את החלקיק מחוץ לבור. בור פוטנציאל סופי יכול גם לתאר אזור של מינימום מקומי בפוטנציאל שבו החלקיק קשור.

במציאות קיימים רק בורות פוטנציאל סופיים, אך פתרון בעיית הבור האינסופי הוא פשוט והוא משמש לעיתים קרובות ביישומים מעשיים משום שהוא מהווה קירוב טוב לבור הפוטנציאל האמיתי (בור פוטנציאל סופי מצריך פתרון של משוואה טרנסצנדנטלית, שאינה פתירה אנליטית). סיבה נוספת לשימוש בקירוב זה היא הפיכת מרחב הילברט של מצבי החלקיק למרחב ספרבילי על ידי מעבר מבסיס מקום רציף (של מרחב אינסופי) לבסיס מקום בן מנייה (של מרחב סופי וחסום).

חלקיק בקופסה חד ממדית

איור סכמטי של חלקיק בבור פוטנציאל אינסופי.

הפתרון לפונקציית הגל

בור פוטנציאל אינסופי המגדיר במרחב אזור סופי שרק בתוכו החלקיק יכול להימצא ובו הוא נע באופן חופשי (ללא השפעת כוח כלשהו) יהיה מהצורה כללית הבאה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V(\vec{r}) = \left\{\begin{matrix} 0 & \mbox{if } \vec{r} \in S \\ \infty & \mbox{if } \vec{r} \notin S \end{matrix}\right. }

פוטנציאל המגדיר בור פוטנציאל במימד אחד יכול להיות מהצורה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V(x) = \left\{\begin{matrix} 0 & \mbox{if } 0 < x < L \\ \infty & \mbox{if } x \leq 0, x \geq L \end{matrix}\right. }

פונקציית צפיפות ההסתברות למציאת החלקיק בנקודה x נתונה על ידי $\left|\psi \right|^{2}$, כאשר $\psi$ פונקציית הגל המקיימת את משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)$

כאשר $\hbar$ קבוע הפלאנק המצומצם, m מסת החלקיק ו-E האנרגיה שלו.

הפתרון מחייב התאפסות של $\ \psi (x)$ באזורים שבהם הפוטנציאל הוא אינסופי, ובפרט בדפנות הקופסה. בתוך הבור, הפוטנציאל הוא אפס ומשוואת שרדינגר היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi(x) = E\psi(x)}

הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית הזו הוא מהצורה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \psi (x) = A\sin{ (k x)} + B\cos{ (k x)}}

כאשר A,B קבועים כלשהם ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}} .

תנאי השפה של התאפסות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \psi(x)} בקצוות מאלצים את הפתרון:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \psi_n (x) = \sqrt{2/L} \sin{ ( n \pi x / L)}}

כאשר הקבוע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=\sqrt{2/L}} קובע את ההסתברות השלמה להיות 1, ומתנאי השפה: B=0 ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k=n\pi / L} כאשר n מספר טבעי. זהו הביטוי לפונקציות הגל העצמיות בתוך הבור, ומחוץ לבור הן מתאפסות. לכל פונקציה עצמית מתאימה אנרגיה עצמית:

$\ E_{n}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\pi ^{2}n^{2}}{L^{2}}}$

כלומר, האנרגיות האפשריות של חלקיק שמצוי בבור פוטנציאל אינסופי הן בדידות כתוצאה מכך שמספרי הגל האפשריים של פונקציית הגל חייבים להיות כאלה שמאפסים אותה בקצוות הבור. זאת, לעומת מכניקה קלאסית בה החלקיק נע במהירות קבועה ומוחזר מהקירות בהתנגשויות אלסטיות באופן מחזורי, ויכול לקבל כל אנרגיה קינטית.

בור פוטנציאל דו ממדי ותלת ממדי

באותו אופן, בעזרת הפרדת משתנים, ניתן למצוא פתרון עבור בור דו ממדי ובור תלת ממדי

המקרה הדו ממדי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_{n_x,n_y} = \sqrt{\frac{4}{L_x L_y}} \sin \left( k_{n_x} x \right) \sin \left( k_{n_y} y\right)} ,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_{n_x,n_y} = \frac{\hbar^2 k_{n_x,n_y}^2}{2m}} ,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle = \frac{h^2}{8m} \left[ \left( \frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n_y}{L_y} \right)^2 \right] \,\!}

כאשר k הוא וקטור גל

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{k_{n_x,n_y}} = k_{n_x}\mathbf{\hat{x}} + k_{n_y}\mathbf{\hat{y}} = \frac{n_x \pi }{L_x} \mathbf{\hat{x}} + \frac{n_y \pi }{L_y} \mathbf{\hat{y}}} .

המקרה התלת ממדי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_{n_x,n_y,n_z} = \sqrt{\frac{8}{L_x L_y L_z}} \sin \left( k_{n_x} x \right) \sin \left( k_{n_y} y \right) \sin \left( k_{n_z} z \right)} ,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_{n_x,n_y,n_z} = \frac{\hbar^2 k_{n_x,n_y,n_z}^2}{2m}} ,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle = \frac{h^2}{8m} \left[ \left( \frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n_y}{L_y} \right)^2 + \left( \frac{n_z}{L_z} \right)^2 \right]\,\!}

כאשר

$\mathbf {k_{n_{x},n_{y},n_{z}}} =k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} +k_{n_{z}}\mathbf {\hat {z}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {n_{z}\pi }{L_{z}}}\mathbf {\hat {z}}$.

יש לשים לב שפעמים רבות, הפתרונות האלו מנוונים - כלומר, ישנם שני וקטורי גל שונים שנותנים את אותה אנרגיה.

ראו גם

• משוואת שרדינגר
• תורת שטורם-ליוביל
• בור פוטנציאל קוונטי
• בור פוטנציאל סופי

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא בור פוטנציאל אינסופי בוויקישיתוף

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] בור פוטנציאל אינסופי22194570